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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
              （Ⅰ）试判断f（x）=2x，g（x）=log2x是否在（1，+∞）上封闭；
              （Ⅱ）设f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x））（n∈N*，n≥2），求证：fn（x）在D上封闭的充分条件是f1（x）在D上封闭；
              （Ⅲ）若（Ⅱ）中fn（x）（n∈N*）的定义域均为D，那么f1（x）在D上封闭是fn（x）在D上封闭的必要条件吗？证明你的结论．
              难度：较难
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            • 2． 先解答（1），再通过类比解答（2）：
              （1）①求证：tan(x+
              π
              4
              )=
              1+tanx
              1-tanx
              ；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；
              （2）设x∈R，a为正常数，且f(x+a)=
              1+f(x)
              1-f(x)
              ，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．
              难度：较难
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            • 3． 给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止．
              （Ⅰ）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
              （Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1＞
              150n-L
              n-1
              ；
              （Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．
              难度：难
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            • 4． 用反证法证明下列命题：
              （1）
              		2
              不是有理数；
              （2）在三角形中，至少有一个角大于或等于60°．
              难度：中等
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