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          共50条信息

            • 1． 已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}+ \dfrac {1}{2}\)，\(b=2-x\)，\(c=x^{2}-x+1\)，试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．
              难度：较易
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            • 2．

              试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知\(0 < a < 1 \)，则\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{1-a}\geqslant 9\)．

              难度：中等
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            • 3．

              用反证法证明命题“设\(a\)，\(b\)为实数，则方程\(x^{2}+ax+b=0\)至少有一个实根”时，要做的假设是\((\)   \()\)．

              A．方程\(x^{2}+ax+b=0\)没有实根
              B．方程\(x^{2}+ax+b=0\)至多有一个实根
              C．方程\(x^{2}+ax+b=0\)至多有两个实根
              D．方程\(x^{2}+ax+b=0\)恰好有两个实根
              难度：易
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            • 4．

              请按要求完成下列两题的证明

              \((1)\)已知\(0 < a < 1,0 < b < 1\)，用分析法证明：\(\dfrac{a+b}{1+ab}\leqslant 1\)

              \((2)\)若\(x,y\)都是正实数，且\(x+y > 2,\)用反证法证明：\(\dfrac{1+x}{y} < 2\)与\(\dfrac{1+y}{x} < 2\)中至少有一个成立．







              ​

              难度：较难
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            • 5．

              \((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} > 2x+\dfrac{1}{x} > 2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)；

              \((2)\)若\(a < e\)，用反证法证明：函数\(f(x)=xe^{x}-ax^{2}(x > 0)\)无零点．

              难度：难
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            • 6．

              \(①\)已知\(p^{3}+q^{3}=2\)，求证\(p+q\leqslant 2\)，用反证法证明时，可假设\(p+q\geqslant 2;②\)已知\(a\)，\(b∈R\)，\(\left| a \right|+\left| b \right| < 1\)，求证方程\(x^{2}+ax+b=0\)的两根的绝对值都小于\(1\)，用反证法证明时可假设方程有一根\(x_{1}\)的绝对值大于或等于\(1\)，即假设\(\left| x_{1} \right|\geqslant 1.\)其中正确说法的序号是____\(.\) 

              难度：中等
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            • 7． 用反证法证明命题“若\(x^{2}-(a+b)x+ab\neq 0\)，则\(x\neq a\)且\(x\neq b\)”时，应假设为 　　　　．
              难度：难
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            • 8．

              已知\(M\)是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意\(f(x)∈M\)，\(①\)方程\(f(x)-x=0\)有实数根；\(②\)函数\(f(x)\)的导数\(f′(x)\)满足\(0 < f′(x) < 1\)．

              \((\)Ⅰ\()\)判断函数\(f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln x}{2}+3 (x > 1)\)是否是集合\(M\)中的元素，并说明理由；

              \((\)Ⅱ\()\)证明：方程\(f(x)-x=0\)有且只有一个实数根；

              \((\)Ⅲ\()\)对\(\forall f(x)\in M\) ，且\(x∈(a,b)\)，求证：对\(f(x)\)定义域中任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)，当\(|x_{2}-x_{1}| < 1\)，且\(|x_{3}-x_{1}| < 1\)时，\(|f(x_{3})-f(x_{2})| < 2\)

              难度：中等
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            • 9．

              已知\(x\)\({\,\!}_{1} > 0\)，\(x\)\({\,\!}_{1}\neq 1\)且\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{{x}_{n}}\cdot (x_{n}^{2}+3)}{3x_{n}^{2}+1}(n=1,2,\cdots )\)，试证：“数列\(\{\)\(x_{n}\)\(\}\)对任意的正整数\(n\)，都满足\(x_{n}\)\( > \)\(x_{n}\)\({\,\!}_{+1}\)，”当此题用反证法否定结论时应为(    )

              A．对任意的正整数\(n\)，有\({{x}_{n}}={{x}_{n+1}}\)
              B．存在正整数\(n\)，使\({{x}_{n}}\leqslant {{x}_{n+1}}\)
              C．存在正整数\(n\)，使\({{x}_{n}}\geqslant {{x}_{n-1}}\)，且\({{x}_{n}}\geqslant {{x}_{n+1}}\)
              D．存在正整数\(n\)，使\(({{x}_{n}}-{{x}_{n-1}})({{x}_{n}}-{{x}_{n+1}})\geqslant 0\)
              难度：易
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            • 10． 证明：\(1\)，\( \sqrt {3}\)，\(2\)不能为同一等差数列的三项．
              难度：难
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