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          共50条信息

            • 1．
              已知二次函数\(f(x)=ax\)\({\,\!}^{2}\) \(+bx+c(a > 0)\)的图象与\(x\)轴有两个不同的交点，若\(f(c)=0\)，且\(0 < x < c\)时，\(f(x) > 0\)．
              \((1)\)证明：\( \dfrac{1}{a}\) 是\(f(x)=0\)的一个根；
              \((2)\)试比较\( \dfrac{1}{a}\) 与\(c\)的大小；

              ​\((3)\)证明：\(-2 < b < -1\)．

              难度：中等
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            • 2．

              设\(\{a_{n}\}\)是公比为\(q\)的等比数列，\(S_{n}\)是它的前\(n\)项和．

              \((1)\)求证：数列\(\{S_{n}\}\)不是等比数列；

              \((2)\)数列\(\{S_{n}\}\)是等差数列吗？为什么？

              难度：中等
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            • 3．

              \((\)Ⅰ\()\)证明：若\(a\)，\(b\)，\(c∈R^{+}\)，则\(a+\dfrac{1}{b}\)，\(b+\dfrac{1}{c}\)，\(c+\dfrac{1}{a}\)，至少有一个不小于\(2\)；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)均为正数，且\(a+b=c+d\)，若\(ab > cd\)，证明：\(|a\)一\(b| < |c-d|\)．

              难度：较难
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            • 4．

              如图，在\(\vartriangle ABC\)中，\(D\)为\(AB\)边上一点，且\(DA=DC\)，已知\(B=\dfrac{\pi }{4}\)，\(BC=1\)．


              \((1)\)若\(\vartriangle ABC\)是锐角三角形，\(DC=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，求角\(A\)的大小；

              \((2)\)若\(\vartriangle BCD\)的面积为\(\dfrac{1}{6}\)，求\(AB\)的长．

              难度：中等
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            • 5．

              已知实数\(p\)满足不等式\((2p+1)(p+2) < 0\)，用反证法证明，关于\(x\)的方程\(x^{2}-2x+5-p^{2}=0\)无实数根．

              难度：中等
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            • 6． \((1)\)已知\(a > 0\)，求证：\(\sqrt{a+5}- \sqrt{a+3} > \sqrt{a+6}- \sqrt{a+4} \)
              \((2)\)证明：已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-x+1\)，\(b=4-x\)，\(c=x^{2}-2x.\)试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．
              难度：难
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            • 7．

              证明：\((1)\)已知\(m > 0\)，\(a\)，\(b∈R\)，求证：\({\left( \dfrac{a+mb}{1+m}\right)}^{2}\leqslant \dfrac{{a}^{2}+m{b}^{2}}{1+m} \)​

              \((2)\)已知\(0 < x < 2\)，\(0 < y < 2\)，\(0 < z < 2\)，求证：\(x(2-y)\)，\(y(2-z)\)，\(z(2-x)\)不都大于\(1\)．




              难度：中等
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            • 8．

              是否存在一个等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)同时满足下列三个条件：\(①\)\({{a}_{1}}+{{a}_{6}}=11\)且\(a_{1}a_{6}{=}\dfrac{32}{9}\)；\(②\)\({{a}_{n+1}} > {{a}_{n}}\left( n\in N* \right)\)；\(③\)至少存在一个\(m(m\)\(∈N*\)，且\(m > 4\)\()\)，使得\(\dfrac{2}{3}{{a}_{m-1}}{{,}^{{}}}{{a}_{m}}^{2}{{,}^{{}}}{{a}_{m+1}}+\dfrac{4}{9}\)依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由。

              难度：难
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            • 9．

              已知\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，\(a\)，\(b\)，\(c∈R\)，且\(g(x)\)满足\(f(x)=(x+i)g(x)\)．

              \((1)\)求证：\(g(x)\)的系数不可能全为实数．

              \((2)\)若\(f(i)+f(-i)+f(1)=0\)，求\(f(x)\)的表达式．

              难度：中等
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            • 10．

              若数列\(\{{{a}_{n}}\}\)和\(\{{{b}_{n}}\}\)的项数均为\(m\)，则将数列\(\{{{a}_{n}}\}\)和\(\{{{b}_{n}}\}\)的距离定义为\(\sum\limits_{i=1}^{m}{|{{a}_{i}}-{{b}_{i}}|}\) ．

              \((1)\)求数列\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(6\)和数列\(2\)，\(3\)，\(10\)，\(7\)的距离．

              \((2)\)记\(A\)为满足递推关系\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1+{{a}_{n}}}{1-{{a}_{n}}}\)的所有数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的集合，数

              难度：难
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