知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．

难度：中等

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2．（2016•南通一模）如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O₁为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=1+cos2x-sin2x-a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，函数f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

难度：较易

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4．已知f（x）=sinx+
3
cosx （x∈R）
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2sin（2x-
π
6
）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=sin（2x-
π
3
）．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）取最大值时x值的集合；
（3）函数y=f（x）-m在[0，
π
2
]上有零点，求m的取值范围．

难度：较难

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7．求函数y=-3sin²x+9sinx+
5
4
的最大值．

难度：较易

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8．求函数y=
sinx
2+cosx
的最大值．

难度：中等

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9．求下列函数的最大值和最小值：
（1）y=3-2cos（x+π）；
（2）y=3cos²x-4cosx+1，x∈[
π
3
，
2π
3
]；
（3）y=
cosx-2
cosx-1
．

难度：中等

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10．已知f（x）=-2acos²x一2
2
asinx+3a+b的定义域为[0，
π
2
]，值域为[-5，1]，求实数a，b的值．

难度：中等

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