如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以\(O_{1}\)为圆心，半径为\(1km\)的半圆面\(.\)公路\(l\)经过点\(O\)，且与直径\(OA\)垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路\(PQ(\)点\(P\)在直径\(OA\)的延长线上，点\(Q\)在公路\(l\)上\()\)，\(T\)为切点．
\((1)\)按下列要求建立函数关系：
\(①\)设\(∠OPQ=α(rad)\)，将\(\triangle OPQ\)的面积\(S\)表示为\(α\)的函数；
\(②\)设\(OQ=t(km)\)，将\(\triangle OPQ\)的面积\(S\)表示为\(t\)的函数．
\((2)\)请你选用\((1)\)中的一个函数关系，求\(\triangle OPQ\)的面积\(S\)的最小值．