知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？

难度：较易

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2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
$%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7By%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$ $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （x₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ ）² $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （w₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$ ）² $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （x₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ ）（y- $%20%5Coverrightarrow%20%7By%7D$ ） $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （w₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$ ）（y- $%20%5Coverrightarrow%20%7By%7D$ ）
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 $w_%7Bi%7D%3D%20%5Csqrt%20%7Bx_%7Bi%7D%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B8%7D$ $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7Dw_%7Bi%7D$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d $%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（Ⅱ）的结果回答
当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据（u₁ v₁），（u₂ v₂）…..（u_n v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $%20%5Chat%20%CE%B2%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28u_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bu%7D%29%28v_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bv%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28u_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bu%7D%29%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%8C%20%5Chat%20%CE%B1%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bv%7D-%20%5Chat%20%CE%B2%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bu%7D$ ．

难度：较易

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3． 2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．

难度：较易

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4．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
x（元） 14 16 18 20 22
y（件） 12 10 7 5 3
且知x与y具有线性相关关系，求出y对x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．

难度：较易

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5．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95
化学分数z	67	72	76	80	84	87	90	92

①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数 $r%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot%20%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ，
回归直线方程是： $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3Dbx%2Ba$ ，其中 $b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%8Ca%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ，
参考数据： $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%3D77.5%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%3D85%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D%3D81%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%881050%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%88456$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28z_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%88550%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%E2%89%88688$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28z_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D%29%E2%89%88755%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B1050%7D%E2%89%8832.4$ ， $%20%5Csqrt%20%7B456%7D%E2%89%8821.4%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B550%7D%E2%89%8823.5$ ．

难度：易

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6．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．
健步走步数（千卡） 16 17 18 19
消耗能量（卡路里） 400 440 480 520
（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；
（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．

难度：较易

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7．某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 3 4 6 5 7
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y%3D%20%5Chat%20bx%2B%20%5Chat%20a$ ．
（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？
（参考值：2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138，2²+4²+5²+6²+8²=145）

难度：较易

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8．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y和房屋的面积x的数据：
房屋面积（m²） 115 110 80 135 105
销售价格（万元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）用最小二乘法求线性回归方程；
（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150㎡时的销售价格．

难度：较易

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9．以下是粤西地区某县搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

（1）画出数据散点图；
（2）由散点图判断新房屋销售价格y和房屋面积x是否具有线性相关关系？若有，求线性回归方程．（保留四位小数）
（3）根据房屋面积预报销售价格的回归方程，预报房屋面积为150m²时的销售价格．
参考公式：b=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，a=
.
y
-b
.
x

参考数据：
.
x
=
1
5
(115+110+80+135+105)=109，
.
y
=
1
5
(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2
5
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)=308，
5
i=1
(xi-
.
x
)2=1570．

难度：中等

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10．某市为了对学生的数理（数学与物理）学习能力进行分析，从10000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数（6分制）作为样本，分数频数分布如下表：

等级得分（0，1] （1，2] （2，3] （3，4] （4，5] （5，6]

人数 3 17 30 30 17 3
（Ⅰ）如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取2名学生，求恰有1名学生为良好的概率；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间（1，2]的中点值为1.5）作为代表：
（ⅰ）据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望μ及标准差σ（精确到0.1）；
（ⅱ）若总体服从正态分布，以样本估计总体，估计该市这10000名学生中数理学习能力等级在（1.9，4.1）范围内的人数．
（Ⅲ）从这10000名学生中任意抽取5名同学，他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表：

（ⅰ）请画出右上表数据的散点图；
（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
y
=bx+a（附参考数据：
129
≈11.4）

难度：中等

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$%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$	$%20%5Coverrightarrow%20%7By%7D$	$%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$	$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （x₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ ）²	$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （w₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$ ）²	$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （x₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bx%7D$ ）（y- $%20%5Coverrightarrow%20%7By%7D$ ）	$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%C2%A0$ （w₁- $%20%5Coverrightarrow%20%7Bw%7D$ ）（y- $%20%5Coverrightarrow%20%7By%7D$ ）
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

健步走步数（千卡）	16	17	18	19
消耗能量（卡路里）	400	440	480	520

房屋面积（m²）	115	110	80	135	105
销售价格（万元）	24.8	21.6	18.4	29.2	22

等级得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人数	3	17	30	30	17	3

施化肥量	15	20	25	30	35	40	45
水稻产量	320	330	360	410	460	470	480

x（元）	14	16	18	20	22
y（件）	12	10	7	5	3