知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
$2014$年“双节”期间，高速公路车辆较多$.$某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔$50$辆就抽取一辆的抽样方法抽取$40$名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速$(km/h)$分成六段：$[60,65)$，$[65,70)$，$[70,75)$，$[75,80)$，$[80,85)$，$[85,90)$后得到如图的频率分布直方图．
$(1)$求这$40$辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；
$(2)$若从车速在$[60,70)$的车辆中任抽取$2$辆，求车速在$[65,70)$的车辆恰有一辆的概率．

难度：较易

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2．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：
使用年限x 2 3 4 5 6
维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系．
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ 的回归系数 $%20%CC%82a$ ， $%20%CC%82b$ ．
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ，a= $%20%5Coverline%20%7By%7D$ -b $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ．

难度：较易

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3．

为了对$2016$年某校中考成绩进行分析，在$60$分以上的全体同学中随机抽出$8$位，他们的数学分数$($已折算为百分制$)$从小到大排是$60$、$65$、$70$、$75$、$80$、$85$、$90$、$95$，物理分数从小到大排是$72$、$77$、$80$、$84$、$88$、$90$、$93$、$95$．
$(1)$若规定$85$分以上为优秀，求这$8$位同学中恰有$3$位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
$(2)$若这$8$位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

学生编号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
数学分数$x$	$60$	$65$	$70$	$75$	$80$	$85$	$90$	$95$
物理分数$y$	$72$	$77$	$80$	$84$	$88$	$90$	$93$	$95$
化学分数$z$	$67$	$72$	$76$	$80$	$84$	$87$	$90$	$92$

$①$用变量$y$与$x$、$z$与$x$的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
$②$求$y$与$x$、$z$与$x$的线性回归方程$($系数精确到$0.01)$，当某同学的数学成绩为$50$分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数$r= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sqrt { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}- \overset{}{y})^{2}}$，
回归直线方程是：$ \overset{\hat{} }{y}=bx+a$，其中$b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}},a= \overset{ .}{y}-b \overset{ .}{x}$，
参考数据：$ \overset{ .}{x}=77.5, \overset{ .}{y}=85, \overset{ .}{z}=81, \sum\limits_{i=1}^{8}(x_{i}- \overset{ .}{x})^{2}≈1050, \sum\limits_{i=1}^{8}(y_{i}- \overset{ .}{y})^{2}≈456$，$ \sum\limits_{i=1}^{8}(z_{i}- \overset{ .}{z})^{2}≈550, \sum\limits_{i=1}^{8}(x_{i}- \overset{ .}{x})(y_{i}- \overset{ .}{y})≈688$，$ \sum\limits_{i=1}^{8}(x_{i}- \overset{ .}{x})(z_{i}- \overset{ .}{z})≈755, \sqrt {1050}≈32.4$，$ \sqrt {456}≈21.4, \sqrt {550}≈23.5$．

难度：易

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4．

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费$x($单位：千元$)$对年销售量$y($单位：$t)$和年利润$z($单位：千元$)$的影响，对近$8$年的年宣传费$x_{i}$和年销售量$y_{i}(i=1,2,…,8)$数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$ \overrightarrow{x}$	$ \overrightarrow{y}$	$ \overrightarrow{w}$	$ \sum\limits_{i=1}^{8}\;(x_{1}- \overrightarrow{x})^{2}$	$ \sum\limits_{i=1}^{8}\;(w_{1}- \overrightarrow{w})^{2}$	$ \sum\limits_{i=1}^{8}\;(x_{1}- \overrightarrow{x})(y- \overrightarrow{y})$	$ \sum\limits_{i=1}^{8}\;(w_{1}- \overrightarrow{w})(y- \overrightarrow{y})$
$46.6$	$56.3$	$6.8$	$289.8$	$1.6$	$1469$	$108.8$

表中$w_{i}= \sqrt {x_{i}}$，$ \overrightarrow{w}= \dfrac {1}{8} \sum\limits_{i=1}^{8}w_{i}$
$($Ⅰ$)$根据散点图判断，$y=a+bx$与$y=c+d \sqrt {x}$哪一个适宜作为年销售量$y$关于年宣传费$x$的回归方程类型？$($给出判断即可，不必说明理由$)$
$($Ⅱ$)$根据$($Ⅰ$)$的判断结果及表中数据，建立$y$关于$x$的回归方程；
$($Ⅲ$)$以知这种产品的年利率$z$与$x$、$y$的关系为$z=0.2y-x.$根据$($Ⅱ$)$的结果回答
当年宣传费$x=49$时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据$(u_{1}$ $v_{1})$，$(u_{2}$ $v_{2})…..(u_{n}$ $v_{n})$，其回归线$v=α+βu$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$ \hat β= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(u_{i}- \overset{ .}{u})(v_{i}- \overset{ .}{v})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(u_{i}- \overset{}{u})^{2}}, \hat α= \overset{ .}{v}- \hat β \overset{ .}{u}$．

难度：较易

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5．
在一段时间内，某种商品的价格$x$元和需求量$y$件之间的一组数据为：

$x($元$)$ $14$ $16$ $18$ $20$ $22$

$y($件$)$ $12$ $10$ $7$ $5$ $3$

且知$x$与$y$具有线性相关关系，求出$y$对$x$的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．

难度：较易

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6．某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（百万元） 2 3 3 4 5
（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；
（2）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；
（3）当销售额为4（千万元）时，利用（2）的结论估计该零售店的利润额（百万元）．

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7．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y/元与该周每天销售这种服装件数x/件之间的数据如表：
X 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
已知x₁²+x₂²+…+x₇²=280，x₁y₁+x₂y₂+…+x₇y₇=3487．
（1）求 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ， $%20%5Coverline%20%7By%7D$ ；
（2）画出散点图；
（3）判断纯利润y与每天销售件数x之间是否线性相关，如果线性相关，求出线性回归方程．

难度：较易

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8．某5名学生的数学和物理成绩如表：

学科学生 A B C D E
数学成绩x 88 76 73 66 63
物理成绩Y 78 68 70 64 60
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求物理成绩Y对数学成绩x的回归直线方程；（结果保留到小数点后三位数字）
（参考数据： $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7D$ =366， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7DY_%7Bi%7D$ =340， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7DY_%7Bi%7D$ =25146， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D$ =27174）

难度：较易

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9．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积m² 110 90 80 100 120
销售价格（万元） 33 31 28 34 39
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m²时的销售价格．
（提示： $%20%CC%82b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%C2%A0%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%CC%82a%3D%20%5Coverline%20%7By%7D-%20%CC%82b%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ，110²+90²+80²+100²+120²=51000，110×33+90×31+80×28+100×34+120×39=16740）

难度：较易

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10．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x（转/秒） 2 4 5 6 8
每小时生产有缺点的零件数y（件） 30 40 60 50 70
（1）画散点图；
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考数值： $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%3D1380$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D%3D145$ ）

难度：较易

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学生编号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
数学分数\(x\)	\(60\)	\(65\)	\(70\)	\(75\)	\(80\)	\(85\)	\(90\)	\(95\)
物理分数\(y\)	\(72\)	\(77\)	\(80\)	\(84\)	\(88\)	\(90\)	\(93\)	\(95\)
化学分数\(z\)	\(67\)	\(72\)	\(76\)	\(80\)	\(84\)	\(87\)	\(90\)	\(92\)

\( \overrightarrow{x}\)	\( \overrightarrow{y}\)	\( \overrightarrow{w}\)	\( \sum\limits_{i=1}^{8}\;(x_{1}- \overrightarrow{x})^{2}\)	\( \sum\limits_{i=1}^{8}\;(w_{1}- \overrightarrow{w})^{2}\)	\( \sum\limits_{i=1}^{8}\;(x_{1}- \overrightarrow{x})(y- \overrightarrow{y})\)	\( \sum\limits_{i=1}^{8}\;(w_{1}- \overrightarrow{w})(y- \overrightarrow{y})\)
\(46.6\)	\(56.3\)	\(6.8\)	\(289.8\)	\(1.6\)	\(1469\)	\(108.8\)

\(x(\)元\()\)	\(14\)	\(16\)	\(18\)	\(20\)	\(22\)
\(y(\)件\()\)	\(12\)	\(10\)	\(7\)	\(5\)	\(3\)

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（百万元）	2	3	3	4	5

学科学生	A	B	C	D	E
数学成绩x	88	76	73	66	63
物理成绩Y	78	68	70	64	60

房屋面积m²	110	90	80	100	120
销售价格（万元）	33	31	28	34	39

转速x（转/秒）	2	4	5	6	8
每小时生产有缺点的零件数y（件）	30	40	60	50	70

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0