知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表：
分数区间甲班频率乙班频率
[0，30） 0.1 0.2
[30，60） 0.2 0.2
[60，90） 0.3 0.3
[90，120） 0.2 0.2
[120，150） 0.2 0.1
（Ⅰ）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；
（Ⅱ）根据以上数据完成下面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？
优秀不优秀总计
甲班
乙班
总计
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
$\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d．

难度：中等

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2．近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查，统计如下：
年龄价格 5000元及以上 3000元﹣4999元 1000元﹣2999元 1000元以下
45岁及以下 12 28 66 4
45岁以上 3 17 46 24
（Ⅰ）完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？
（Ⅱ）从样本中手机价格在5000元及以上的人群中选择3人调查其收入状况，设3人中年龄在45岁及以下的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及数学期望．
附K²= $\text{[math]}$
P（K²≥k） 0.05 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828

难度：中等

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3．在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．
坐标系与参数方程不等式选讲
人数及均分人数均分人数均分
男同学 14 8 6 7
女同学 8 6.5 12 5.5
（Ⅰ）求全班选做题的均分；
（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？
（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d．
下面临界值表仅供参考：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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4．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．
表1：（乙流水线样本频数分布表）　
产品重量（克）频数
（490，495] 6
（495，500] 8
（500，505] 14
（505，510] 8
（510，515] 4
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x²+y²=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx-2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面
π
2
列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线乙流水线合计
合格品 a= b=
不合格品 c= d=
合　计 n=
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：较易

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5．某青年教师有一专项课题是进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的研究，他调查了某中学高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩，把成绩按优秀和不优秀分类得到的结果是：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有60人．
（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4份成绩中数学、物理两科成绩恰有一科优秀的份数为X，求X的分布列和期望E（X）．
附：
P（K²≥k₀） 0.100 0.050 0.010
k₀ 6.635 7.879 10.828
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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6．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
微信控非微信控合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5 人并从选出的5 人中再随机抽取3 人赠送200 元的护肤品套装，记这3 人中“微信控”的人数为X，试求X 的分布列与数学期望．
参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k₀ 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635

难度：较易

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7．为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系？
参考数据：
P（K²＞k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K²= $\text{[math]}$ （n=a+b+c+d）

难度：中等

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8．海南中学对高二学生进行心理障碍测试得到如下列联表：
焦虑说谎懒惰总计
女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
总计 25 20 65 110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
参考数据：K²= $\text{[math]}$
P（K²≥k） 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828

难度：中等

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9．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．
（Ⅰ）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；
（Ⅱ）记甲组学生的成绩分别为x₁ ， x₂ ， …，x₁₂ ，执行如图所示的程序框图，求输出的S的值；
（Ⅲ）竞赛中，学生小张、小李同时回答两道题，小张答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，小李答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，两人回答每道题正确与否相互独立．记小张答对题的道数为a，小李答对题的道数为b，X=|a﹣b|，写出X的概率分布列，并求出X的数学期望．

附：K²= $\text{[math]}$ ；其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表：
P（K²＞k₀） 0.100 0.050 0.010
k₀ 2.706 3.841 6.635

难度：中等

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10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计

男生 20 5 25

女生 10 15 25

合计 30 20 50
（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．
（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出K²≈8.333，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？下面的临界值表供参考：

P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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0/40

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分数区间	甲班频率	乙班频率
[0，30）	0.1	0.2
[30，60）	0.2	0.2
[60，90）	0.3	0.3
[90，120）	0.2	0.2
[120，150）	0.2	0.1

k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

年龄价格	5000元及以上	3000元﹣4999元	1000元﹣2999元	1000元以下
45岁及以下	12	28	66	4
45岁以上	3	17	46	24

	坐标系与参数方程		不等式选讲
人数及均分	人数	均分	人数	均分
男同学	14	8	6	7
女同学	8	6.5	12	5.5

产品重量（克）	频数
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　计			n=

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	微信控	非微信控	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k₀	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

P（K²＞k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	优秀	不优秀	总计
甲班
乙班
总计

	焦虑	说谎	懒惰	总计
女生	5	10	15	30
男生	20	10	50	80
总计	25	20	65	110

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50