已知在平面直角坐标系\(xOy\)内，两个定点\(A(1,0)\)，\(B(4,0)\)，且满足\(|PB|=2|PA|\)的点\(P(x,y)\)形成的曲线记为\(Γ\)．

\((1)\)求曲线\(Γ\)的方程；

\((3)\)设曲线\(Γ\)分别交\(x\)轴，\(y\)轴的正半轴于\(M\)，\(N\)两点，点\(Q\)是曲线\(Γ\)位于第三象限内的图象上的任意一点，连接\(QN\)交\(x\)轴于点\(E\)，连接\(QM\)交\(y\)轴于点\(F.\)求证：四边形\(MNEF\)的面积为定值．

设椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)上三个点\(M\)，\(N\)和\(T\)，且\(M\)，\(N\)在直线\(x=8\)上的射影分别为\({{M}_{1}},{{N}_{1}}\)．

\((1)\)若直线\(MN\)过原点\(O\)，直线\(MT\)，\(NT\)斜率分别为\({{k}_{1}},{{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值；

\((2)\)若\(M\)，\(N\)不是椭圆长轴的端点，点\(L\)坐标为\(\left( 3,0 \right)\)，\(\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}L\)与\(\Delta MNL\)面积之比为\(5\)，求\(MN\)中点\(K\)的轨迹方程．

已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+tcoaα, \\ y=t\sin α\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ\end{cases} \)\((θ\)为参数\()\)．

\((1)\)当\(α=\dfrac{\pi }{3}\)时，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的直角坐标方程，以及\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,\ \theta \in [0,\ 2\pi )\)；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

已知在平面直角坐标系\(xoy\)中，点\(M(\sqrt{3},0),N(-\sqrt{3},0)\)，动点\(P\)满足直线\(PM\)与\(PN\)的斜率乘积为\(-\dfrac{2}{3}.(1)\)求动点\(P\)的轨迹方程；\((2)\)设动点\(P\)形成的轨迹为\(C\)，\({{F}_{1}}(-1,0),{{F}_{2}}(1,0)\)，连接\(P{{F}_{1}}\)与曲线\(C\)的另一个交点为\(A\)，连接\(P{{F}_{2}}\)与曲线\(C\)的另一交点为\(B\)，设\(\overrightarrow{P{{F}_{1}}}={{\lambda }_{1}}\overrightarrow{{{F}_{1}}A},\overrightarrow{P{{F}_{2}}}={{\lambda }_{2}}\overrightarrow{{{F}_{2}}B},\)证明：\({{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}}\)为定值．

已知\(A\)、\(B\)、\(C\)为\(\triangle ABC\)的三个内角，向量\(m\)满足\(|m|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，且\(m=(\sqrt{2}\sin \dfrac{B+C}{2},\cos \dfrac{B-C}{2})\)，若\(A\)最大时，动点\(P\)使得\(|\overrightarrow{PB}|\)、\(|\overrightarrow{BC}|\)、\(|\overrightarrow{PC}|\)成等差数列，则\(\dfrac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}\)的最大值是

在平面直角坐标系中，动点\(P\)到点\(F(1,0)\)的距离比它到\(y\)轴的距离多\(1\)，记点\(P\)的轨迹为曲线\(C\)，给出下列三个结论：

\(①\)曲线\(C\)过坐标原点；

\(②\)曲线\(C\)关于\(x\)轴对称；

\(③\)曲线\(C\)的轨迹是抛物线．

其中，所有正确结论的序号是_______．

满足条件\(|z-2i|+|z+1|= \sqrt{5}\)的点的轨迹是\((\)　　\()\)