知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．

难度：中等

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2．已知点A、B的坐标分别是（-1，0）、（1，0），直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程．

难度：较易

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3．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）记直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，当3（k₁+k₂）=8k时，证明：直线l过定点；
（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当 $k%5E%7B2%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B12%7D$ 时，求t的取值范围．

难度：较易

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4．已知：如图，AB是圆C：x²+y²+4x-12y+24=0的弦，且过点P（0，5）．
（Ⅰ）若弦AB的长为4
3
，求直线AB的方程；
（Ⅱ）求弦AB中点D的轨迹方程．

难度：中等

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5．已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM和BM相交于点M，并且它们的斜率乘积为m（m≠0），
（1）求点M轨迹方程
（2）讨论点M轨迹是什么曲线？

难度：中等

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6．已知点A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，它们的斜率之积为-
1
4
，求点P的轨迹方程（化为标准方程）．

难度：较易

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7．已知定点F（2，0）和定直线l：x=
9
2
，若点P（x，y）到直线l的距离为d，且d=
3
2
|PF|
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若F′（-2，0），求
PF
•
PF′
的取值范围．

难度：中等

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8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：|
EF
|=2且EF⊥l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足
FM
=
MQ
，点P满足
PQ
∥
EF
，
PM
•
FQ
=0．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；
（2）若经过点E的直线l₁与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当
3
4
π≤θ＜π时，求直线l₁的斜率k的取值范围．

难度：中等

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9．已知常数a＞0，向量
m
=（0，a），
n
=（1，0），经过定点A（0，-a）以
m
+λ
n
为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以
n
+2λ
m
为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．求动点P所形成的曲线C的方程．

难度：中等

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10．已知双曲线x²-y²=2
(1)求以M(3，1)为中点的弦所在的直线的方程
(2)求过M(3，1)的弦的中点的轨迹方程．

难度：中等

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