知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．

难度：中等

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2．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(2，
3
)，且离心率为
3
2
．椭圆上还有两点P、Q，O为坐标原点，连接OP、OQ，其斜率的积为-
1
4
．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：|OP|²+|OQ|²为定值，并求出此定值；
（3）求PQ中点的轨迹方程．

难度：较难

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3．已知双曲线
x2
2
-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程．

难度：较难

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4．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
1
3
，求动点P的轨迹方程．

难度：中等

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5．在△ABC中，已知|BC|=4，BC的中点在坐标原点，点B的坐标是（-2，0），AB⊥AC，
（1）求动点A的轨迹方程；
（2）若直线l：mx-y+2m-2=0与点A的轨迹恰有一个公共点，求m的值；
（3）若（2）中m的值是函数 f（x）=x²+sinα•x+n的零点，求tan(
3π
2
-α)的值．

难度：较难

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6．已知圆C：x²+（y+2）²=4．
（Ⅰ）若过点M（-2，-3）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）已知点A（2，0），点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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7．设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z+i|+|z-i|=4，则点（x，y）的轨迹方程是．

难度：较难

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8．已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

难度：中等

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9．在△ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且|AC|-|BC|=6，求顶点C的轨迹方程．

难度：较易

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10．已知点A、B的坐标分别是（-1，0）、（1，0），直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程．

难度：较易

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