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          共50条信息

            • 1．
              如图，已知点\(P\)是\(y\)轴左侧\((\)不含\(y\)轴\()\)一点，抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)上存在不同的两点\(A\)，\(B\)满足\(PA\)，\(PB\)的中点均在\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)设\(AB\)中点为\(M\)，证明：\(PM\)垂直于\(y\)轴；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(P\)是半椭圆\(x^{2}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1(x < 0)\)上的动点，求\(\triangle PAB\)面积的取值范围．
              难度：中等
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            • 2．
              已知圆\(x^{2}+y^{2}-2x=0\)的圆心为\(C\)，直线\( \begin{cases} x=-1+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=3- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}\)，\((t\)为参数\()\)与该圆相交于\(A\)，\(B\)两点，则\(\triangle ABC\)的面积为 ______ ．
              难度：易
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            • 3．
              设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右顶点为\(A\)，上顶点为\(B.\)已知椭圆的离心率为\( \dfrac { \sqrt {5}}{3}\)，\(|AB|= \sqrt {13}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设直线\(l\)：\(y=kx(k < 0)\)与椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点，\(1\)与直线\(AB\)交于点\(M\)，且点\(P\)，\(M\)均在第四象限\(.\)若\(\triangle BPM\)的面积是\(\triangle BPQ\)面积的\(2\)倍，求\(k\)的值．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(M\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，焦距为\(2 \sqrt {2}.\)斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(M\)有两个不同的交点\(A\)，\(B\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(M\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(k=1\)，求\(|AB|\)的最大值；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(P(-2,0)\)，直线\(PA\)与椭圆\(M\)的另一个交点为\(C\)，直线\(PB\)与椭圆\(M\)的另一个交点为\(D.\)若\(C\)，\(D\)和点\(Q(- \dfrac {7}{4}, \dfrac {1}{4})\)共线，求\(k\)．
              难度：较易
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            • 5．
              直线\(y=x+1\)与圆\(x^{2}+y^{2}+2y-3=0\)交于\(A\)，\(B\)两点，则\(|AB|=\) ______ ．
              难度：较易
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            • 6．
              设\(O\)为坐标原点，动点\(M\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)上，过\(M\)做\(x\)轴的垂线，垂足为\(N\)，点\(P\)满足\( \overrightarrow{NP}= \sqrt {2} \overrightarrow{NM}\)．
              \((1)\)求点\(P\)的轨迹方程；
              \((2)\)设点\(Q\)在直线\(x=-3\)上，且\( \overrightarrow{OP}⋅ \overrightarrow{PQ}=1.\)证明：过点\(P\)且垂直于\(OQ\)的直线\(l\)过\(C\)的左焦点\(F\)．
              难度：难
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            • 7．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，焦距为\(2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程．
              \((\)Ⅱ\()\)如图，该直线\(l\)：\(y=k_{1}x- \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，\(C\)是椭圆\(E\)上的一点，直线\(OC\)的斜率为\(k_{2}\)，且看\(k_{1}k_{2=} \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)，\(M\)是线段\(OC\)延长线上一点，且\(|MC|\)：\(|AB|=2\)：\(3\)，\(⊙M\)的半径为\(|MC|\)，\(OS\)，\(OT\)是\(⊙M\)的两条切线，切点分别为\(S\)，\(T\)，求\(∠SOT\)的最大值，并求取得最大值时直线\(l\)的斜率．
              难度：难
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            • 8．
              在矩形\(ABCD\)中，\(AB=1\)，\(AD=2\)，动点\(P\)在以点\(C\)为圆心且与\(BD\)相切的圆上\(.\)若\( \overrightarrow{AP}=λ \overrightarrow{AB}+μ \overrightarrow{AD}\)，则\(λ+μ\)的最大值为\((\)　　\()\)
              A．\(3\)
              B．\(2 \sqrt {2}\)
              C．\( \sqrt {5}\)
              D．\(2\)
              难度：难
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            • 9．
              设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F\)，右顶点为\(A\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.\)已知\(A\)是抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点，\(F\)到抛物线的准线\(l\)的距离为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((I)\)求椭圆的方程和抛物线的方程；
              \((II)\)设\(l\)上两点\(P\)，\(Q\)关于\(x\)轴对称，直线\(AP\)与椭圆相交于点\(B(B\)异于\(A)\)，直线\(BQ\)与\(x\)轴相交于点\(D.\)若\(\triangle APD\)的面积为\( \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)，求直线\(AP\)的方程．
              难度：较易
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            • 10．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F(-c,0)\)，右顶点为\(A\)，点\(E\)的坐标为\((0,c)\)，\(\triangle EFA\)的面积为\( \dfrac {b^{2}}{2}\)．
              \((I)\)求椭圆的离心率；
              \((II)\)设点\(Q\)在线段\(AE\)上，\(|FQ|= \dfrac {3}{2}c\)，延长线段\(FQ\)与椭圆交于点\(P\)，点\(M\)，\(N\)在\(x\)轴上，\(PM/\!/QN\)，且直线\(PM\)与直线\(QN\)间的距离为\(c\)，四边形\(PQNM\)的面积为\(3c\)．
              \((i)\)求直线\(FP\)的斜率；
              \((ii)\)求椭圆的方程．
              难度：难
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