知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
设\(F\)为抛物线\(C\)：\(y^{2}=2x\)的焦点，\(A\)，\(B\)是抛物线\(C\)上的两个动点，\(O\)为坐标原点．
\((\)Ⅰ\()\)若直线\(AB\)经过焦点\(F\)，且斜率为\(2\)，求\(|AB|\)；
\((\)Ⅱ\()\)当\(OA⊥OB\)时，求\(|OA|⋅|OB|\)的最小值．

难度：较易

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3．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，\(P\)为\(C\)上异于原点的任意一点，过点\(P\)的直线\(l\)交\(C\)于另一点\(Q\)，交\(x\)轴的正半轴于点\(S\)，且有\(|FP|=|FS|.\)当点\(P\)的横坐标为\(3\)时，\(|PF|=|PS|\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l_{1}/\!/l\)，\(l_{1}\)和\(C\)有且只有一个公共点\(E\)，
\((ⅰ)\triangle OPE\)的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
\((ⅱ)\)证明直线\(PE\)过定点，并求出定点坐标．

难度：较易

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4．
已知过抛物线\(E\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点\(F\)，斜率为\( \sqrt {2}\)的直线交抛物线于\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})(x_{1} < x_{2})\)两点，且\(|AB|=6\)．
\((1)\)求该抛物线\(E\)的方程；
\((2)\)过点\(F\)任意作互相垂直的两条直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，分别交曲线\(E\)于点\(C\)，\(D\)和\(M\)，\(N.\)设线段\(CD\)，\(MN\)的中点分别为\(P\)，\(Q\)，求证：直线\(PQ\)恒过一个定点．

难度：中等

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5．
已知抛物线\(C\)：\(x^{2}=4y\)的焦点为\(F\)，过抛物线\(C\)上的动点\(P(\)除顶点\(O\)外\()\)作\(C\)的切线\(l\)交\(x\)轴于点\(T.\)过点\(O\)作直线\(l\)的垂线\(OM(\)垂足为\(M)\)与直线\(PF\)交于点\(N\)．
\((\)Ⅰ\()\)求焦点\(F\)的坐标；
\((\)Ⅱ\()\)求证：\(FT/\!/MN\)；
\((\)Ⅲ\()\)求线段\(FN\)的长．

难度：较难

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6．

已知抛物线\(E\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，过其焦点\(F\)的直线\(l\)交抛物线\(E\)于\(A\)、\(B\)两点\((\)点\(A\)在第一象限\()\)，若\(S_{\triangle OAB}=- \dfrac {3}{2}\tan ∠AOB\)，则\(p\)的值是\((\)　　\()\)

A．\(2\)

B．\(3\)

C．\(4\)

D．\(5\)

难度：较易

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7．
设双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)的一条渐近线与抛物线\(y=x^{2}+1\) 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ______ ．

难度：较易

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8．

已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)的焦点\(F\)，直线\(l\)与\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，且\(2 \overrightarrow{BF}= \overrightarrow{FA}\)，则直线\(l\)的斜率可能为\((\)　　\()\)

A．\(2 \sqrt {2}\)

B．\( \sqrt {2}\)

C．\(1\)

D．\( \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)

难度：较易

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9．
直线\(y=k(x-1)\)与抛物线\(y^{2}=4x\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|= \dfrac {16}{3}\)，则\(k=\) ______ ．

难度：难

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10．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，过焦点\(F\)且斜率为\(k(k > 0)\)的直线与\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，若\( \overrightarrow{AF}=3 \overrightarrow{FB}\)，则\(k=\) ______ ．

难度：较易

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