知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．如图，点P为圆E：（x-1）²+y²=r²（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．
（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（-1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q₁，Q₂，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q₁，Q₂都存在，且Q₁，Q₂不重合，则直线Q₁Q₂恒过定点，并求该定点坐标．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

难度：较难

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3．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；
（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．

难度：较易

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4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

难度：中等

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5．某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y=x²的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点 $F%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%29$ ，点E为y轴上的一点，记∠EFA=α，其中α为锐角：
（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．

难度：较易

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6．设动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设D（x₀，2）是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线l₁，l₂过点D，且它们的倾斜角互补．若直线l₁，l₂与曲线C的另一交点分别是M，N，证明直线MN的斜率为定值．

难度：中等

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7．某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（　　）

A．560m³

B．540m³

C．520m³

D．500m³

难度：较易

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8．已知p，m＞0，抛物线E：x²=2py上一点M（m，2）到抛物线焦点F的距离为
5
2
．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）如图所示，过F作抛物线E的两条弦AC和BD（点A、B在第一象限），若k_AB+4k_CD=0，求证：直线AB经过一个定点．

难度：中等

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9．已知点P（m，n）是抛物线x²=16y上的一点，抛物线的焦点为F，若|PF|=5，则|mn|= ．

难度：中等

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10．已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁x₂≠0)是抛物线y²=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 满足 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C$ ，设圆C的方程为x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0．
(1)证明线段AB是圆C的直径；
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ 时，求p的值．

难度：难

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