知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（1，0），A，B是抛物线上位于x轴两侧的两动点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =-4（O为坐标原点）．
（1）求抛物线方程；
（2）证明：直线AB过定点T；
（3）过点T作AB的垂线交抛物线于M，N两点，求四边形AMBN的面积的最小值．

难度：较易

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2．已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A（1，-2）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO（O为原点）的面积为2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

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3．已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点 $A_%7B1%7D%28-2%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8CA_%7B2%7D%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过抛物线y²=4x的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

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4．倾斜角 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线l过抛物线y²=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线l的方程．
（2）求线段AB长．

难度：较易

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5．已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点到准线的距离为4，过点P（1，-1）的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．

难度：难

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6．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m高2m，载货后木船露在水面上的部分高为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？

难度：难

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7．已知抛物线x²=4y，圆C：x²+（y-2）²=4，点M（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞4）为抛物线上的动点，过点M的圆C的两切线，设其斜率分别为k₁，k₂
（Ⅰ）求证：k₁+k₂= $%20%5Cfrac%20%7B2x_%7B0%7D%28y_%7B0%7D-2%29%7D%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D-4%7D$ ，k₁•k₂= $%20%5Cfrac%20%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D-4y_%7B0%7D%7D%7Bx_%7B0%7D%5E%7B2%7D-4%7D$ ．
（Ⅱ）求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

难度：较易

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8．如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ，直线l和抛物线y²=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P、M两点间的距离|PM|；
（2）线段AB的长|AB|．

难度：较易

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9．已知动圆过定点F（0，1），且与定直线y=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心M所在曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l经过曲线C上的点P（x₀，y₀），且与曲线C在点P的切线垂直，l与曲线C的另一个交点为Q，当x₀= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 时，求△OPQ的面积．

难度：较易

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10．抛物线y²=4x的焦点为F，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0)在抛物线上，且存在实数λ，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D%2B%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ =0， $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B25%7D%7B4%7D$ ．
(1)求直线AB的方程；
(2)求△AOB的外接圆的方程．

难度：中等

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