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          共50条信息

            • 1．

              过抛物线\({y}^{2}=4x \)的焦点\(F \)作直线交抛物线于\(A({x}_{1},{y}_{1}) \)、\(B\,\,({{x}_{2}}\,,\,{{y}_{2}})\)两点，如果\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6\)，那么\(\left|AB\right| =\)  (    )

              A．\(6\)                    
              B．\(8\)                
              C．\(9\)                
              D．\(10\)
              难度：较易
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            • 2．

              平面曲线\(C\)上的点到点\(F(0,1)\)的距离等于它到直线\(y=-1\)的距离。

              \((1)\)求曲线\(C\)的方程；

              \((2)\)点\(P\)在直线\(y=-1\)上，过点\(P\)作曲线\(C\)的切线\(PA\)、\(PB\)，\(A\)、\(B\)分别为切点，求证：\(A\)、\(B\)、\(F\)三点共线；

              \((3)\)若直线\(PF\)交曲线\(C\)于\(D\)、\(E\)两点，设\( \overrightarrow{DF}=λ \overrightarrow{FE}, \overrightarrow{DP}=μ \overrightarrow{PE} \)求证\(\lambda +\mu \)为定值，并求这个定值。

              难度：难
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            • 3．

              如图，已知圆\(x^{2}+y^{2}=12\)与抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)相交于\(A\)，\(B\)两点，点\(B\)的横坐标为\(2\sqrt{2}\)，\(F\)为抛物线的焦点．

              \((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)若过点\(F\)且斜率为\(l\)的直线\(l\)与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为\(P_{1}\)，\(P_{2}\)，\(P_{3}\)，\({\,\!}_{P4}\)，求\(|P_{1}P_{2}-P_{3}P_{4}|\)的值．

              难度：难
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            • 4．

              设命题\(p\)：方程\( \dfrac{{x}^{2}}{2+k}- \dfrac{{y}^{2}}{3k+1}=1 \)表示双曲线；命题\(q\)：斜率为\(k\)的直线\(l\) 过定点\(p\left(-2,1\right), \)且与抛物线\({y}^{2}=4x \)有两个不同的公共点\(.\)若\(p∧q \)是真命题，求\(k\)的取值范围．

              难度：中等
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            • 5． 已知抛物线\(C:{x}^{2}=2ρy\left(ρ > 0\right) \)，过焦点\(F\)的直线交\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，\(D\)是抛物线的准线\(l\)于\(y\)轴的交点．

              \((1)\)若\(AB/\!/l \)，且\(∆ABD \)的面积为\(1\)，求抛物线的方程；

              \((2)\)设\(M\)为\(AB\)的中点，过\(M\)作\(l\)的垂线，垂足为\(N\)，证明：直线\(AN\)与抛物线相切．

              难度：难
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            • 6．

              从抛物线\(x^{2}=4y\)上一点\(P\)引抛物线准线的垂线，垂足为\(M\)，且\(|PM|=5\)，设抛物线的焦点为\(F\)，则

              \(\triangle MPF\)的面积为________．

              难度：较易
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            • 7． 设\(p:\)“\(k=0\)”，\(q:\)“直线\(l:y=kx+1\)与抛物线\({{y}^{2}}=4x\)只有一个公共点”，则\(p\)是\(q\)的\((\)    \()\)
              A．充分不必要条件      
              B．必要不充分条件 
              C．充分必要条件        
              D．既不充分也不必要条件
              难度：较易
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            • 8． 过抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点\(F\)作直线交抛物线于\(A\)，\(B\)，若\(S_{\triangle OAF}=4S_{\triangle OBF}\)，则直线\(AB\)的斜率为\((\)　　\()\)
              A．\(± \dfrac {3}{5}\)
              B．\(± \dfrac {4}{5}\)
              C．\(± \dfrac {3}{4}\)
              D．\(± \dfrac {4}{3}\)
              难度：较难
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            • 9．

              已知抛物线\(C\)：\(x^{2}=2py(p > 0)\)的焦点为\(F\)，直线\(x=4\)与\(x\)轴的交点为\(P\)，与抛物线的交点为\(Q\)，且\(|QF|=\dfrac{5}{4}|PQ|\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求抛物线\(C\)的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(M\)为抛物线\(C\)下方的一点，过\(M\)引抛物线\(C\)的两条切线，切点分别为\(A\)，\(B\)，求证：\(∠AFM=∠BFM\)．

              难度：难
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            • 10．

              过抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)的焦点\(F\)作倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线，与抛物线分别交于\(A\)，\(B\)两点\((\)点\(A\)在\(y\)轴左侧\()\)，则\(=\)             ．

              难度：难
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