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          共50条信息

            • 1．

              设抛物线\(C:{y}^{2}=4x \)的焦点为\(F\)，过点\((-2,0)\)且斜率为\(\dfrac{2}{3}\)的直线与\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点，则\(\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FN}=\)


              A．\(5\)
              B．\(6\)
              C．\(7\)
              D．\(8\)
              难度：较易
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            • 2． 已知三点\(O(0,0)\)，\(R(-2,1)\)，\(Q(2,1)\)，曲线\(C\)上任意一点\(M(x,y)\)满足\(\left| \left. \overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MQ} \right. \right|=\overrightarrow{OM}·(\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OQ})+2\)．
              \((1)\)求曲线\(C\)的方程；

              \((2)\)若\(A\)，\(B\)是曲线\(C\)上分别位于点\(Q\)两边的任意两点，过\(A\)，\(B\)分别作曲线\(C\)的切线交于点\(P\)，过点\(Q\)作曲线\(C\)的切线分别交直线\(PA\)，\(PB\)于\(D\)，\(E\)两点\(.\)证明：\(\triangle QAB\)与\(\triangle PDE\)的面积之比为定值．

              难度：难
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            • 3．

              已知直线\(y=2x-2\)与抛物线\(y^{2}=8x\)交于\(A\)，\(B\)两点，抛物线的焦点为\(F\)，则\(\overrightarrow{{FA}}·\overrightarrow{{FB}}\)的值为____\(.\) 

              难度：中等
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            • 4．

              已知抛物线\(C\)的顶点在原点，对称轴是\(x\)轴，并且经过点\(P(1,-2)\)，\(C\)的准线与\(x\)轴相交于点\(M\)．

              \((\)Ⅰ\()\) 求抛物线\(C\)的方程；

              \((\)Ⅱ\()\) 过抛物线\(C\)的焦点\(F\)的直线\(l\)交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，若\(\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}\ (\dfrac{3}{4} < \lambda < 2)\)，求\({{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}\)的取值范围．

              难度：难
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            • 5．

              已知抛物线\({{y}^{2}}=-x\)与直线\(y=k(x+1)\)相交于\(A\)、\(B\)两点，则\(\triangle AOB\)的形状是(    )

              A．锐角三角形
              B．直角三角形   
              C．钝角三角形 
              D．不确定
              难度：中等
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            • 6．

              已知点\(F\)为抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)的焦点，点\(P\)是准线\(l\)上的动点，直线\(PF\)交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，若点\(P\)的纵坐标是\(m(m\neq 0)\)，点\(D\)为准线\(l\)与\(x\)轴的交点．

              \((1)\)若\(m=2\)，求\(\triangle DAB\)的面积；

              \((2)\)设\( \overset{→}{AF} =λ \overset{→}{FB} \)，\( \overset{→}{AP} =μ \overset{→}{PB} \)，求证\(λ+μ\)为定值．

              难度：难
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            • 7．

              如图，直线\(l\)与抛物线\({{y}^{2}}=x\)交于\(A\left({x}_{1},{y}_{1}\right)B\left({x}_{2},{y}_{2}\right) \)两点，与\(x\)轴相交于点\(M\)，且\({{y}_{1}}{{y}_{2}}=-1\)．

              \((1)\)求证：\(M\)点的坐标为\((1,0)\)；

              \((2)\)求证：\(OA\bot OB\)；

              \((3)\)求\(\Delta AOB\)的面积的最小值．

              难度：难
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            • 8． 已知\(A\)、\(B\)是抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)上异于原点的两点，\(O\)为原点，且\(OA\bot OB\)．求证：
              \((\)Ⅰ\()\)\(A\)、\(B\)两点的横坐标之积、纵坐标之积都是常数；

              \((\)Ⅱ\()\)直线\(AB\)过定点．

              难度：中等
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            • 9．

              已知抛物线方程为\(x^{2}=2py(p > 0)\)，其焦点为\(F\)，点\(O\)为坐标原点，过焦点\(F\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)的直线与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，过\(A\)，\(B\)两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点\(M\)．

              \((1)\)求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\)；

              \((2)\)设直线\(MF\)与抛物线交于\(C\)，\(D\)两点，且四边形\(ACBD\)的面积为\(\dfrac{32}{3}{{p}^{2}}\)，求直线\(AB\)的斜率\(k\)．

              难度：较难
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            • 10．

              在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(M\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=\sin \alpha +\cos \alpha \\ & y=2\sin \alpha \cos \alpha \end{cases}(a\)为参数\()\)，若以直角坐标系中的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(N\)的极坐标方程为\(\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{{4}})=\dfrac{\sqrt{{2}}}{{2}}t(t\)为参数\()\)．

              \((1)\)求曲线\(M\)的普通方程和曲线\(N\)的直角坐标方程；

              \((2)\)若曲线\(N\)与曲线\(M\)有公共点，求\(t\)的取值范围．

              难度：难
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