知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的左顶点，右焦点分别为$A$，$F$，右准线为$m$．
$(1)$若直线$m$上不存在点$Q$，使$\triangle AFQ$为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
$(2)$在$(1)$的条件下，当$e$取最大值时，$A$点坐标为$(-2,0)$，设$B$，$M$，$N$是椭圆上的三点，且$ \overrightarrow{OB}= \dfrac {3}{5} \overrightarrow{OM}+ \dfrac {4}{5} \overrightarrow{ON}$，求：以线段$MN$的中点为圆心，过$A$，$F$两点的圆的方程．

难度：较易

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2．
如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的右焦点为$F$，$P$为右准线上一点$.$点$Q$在椭圆上，且$FQ⊥FP$．
$(1)$若椭圆的离心率为$ \dfrac {1}{2}$，短轴长为$2 \sqrt {3}$．
$①$求椭圆的方程；
$②$若直线$OQ$，$PQ$的斜率分别为$k_{1}$，$k_{2}$，求$k_{1}⋅k_{2}$的值．
$(2)$若在$x$轴上方存在$P$，$Q$两点，使$O$，$F$，$P$，$Q$四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．

难度：中等

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3．
已知椭圆$C$的中心在原点，离心率等于$ \dfrac {1}{2}$，它的一个短轴端点恰好是抛物线$x^{2}=8 \sqrt {3}y$的焦点．
$(1)$求椭圆$C$的方程；
$(2)$已知$P(2,3)$、$Q(2,-3)$是椭圆上的两点，$A$，$B$是椭圆上位于直线$PQ$两侧的动点，
$①$若直线$AB$的斜率为$ \dfrac {1}{2}$，求四边形$APBQ$面积的最大值；
$②$当$A$、$B$运动时，满足$∠APQ=∠BPQ$，试问直线$AB$的斜率是否为定值，请说明理由．

难度：中等

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4．
在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率$e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}$，$F_{1}$，$F_{2}$分别为左、右焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，且$\triangle PQF_{2}$的周长为$8$．
$(1)$求椭圆$C$的方程；
$(2)$设过点$M(3,0)$的直线交椭圆$C$于不同两点$A$，$B.N$为椭圆上一点，且满足$ \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}=t \overrightarrow{ON}(O$为坐标原点$)$，当$|AB| < \sqrt {3}$时，求实数$t$的取值范围．

难度：中等

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5．
已知椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的离心率为$ \dfrac { \sqrt {6}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为$ \sqrt {3}$．
$($Ⅰ$)$求椭圆$C$的方程；
$($Ⅱ$)$设直线$l$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，坐标原点$O$到直线$l$的距离为$ \dfrac { \sqrt {3}}{2}$，求$\triangle AOB$面积的最大值．

难度：较难

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6．
已知椭圆$C： \dfrac {x^{2}}{5}+y^{2}=1$的右焦点为$F$，原点为$O$，椭圆$C$的动弦$AB$过焦点$F$且不垂直于坐标轴，弦$AB$的中点为$N$，过$F$且垂直于线段$AB$的直线交射线$ON$于点$M$．
$(1)$证明：点$M$在定直线上；
$(2)$当$∠OMF$最大时，求$\triangle MAB$的面积．

难度：较易

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7．
已知椭圆$E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$经过点$P(- \sqrt {3}, \dfrac {1}{2})$，椭圆$E$的一个焦点为$( \sqrt {3},0)$．
$($Ⅰ$)$求椭圆$E$的方程；
$($Ⅱ$)$若直线$l$过点$M(0, \sqrt {2})$且与椭圆$E$交于$A$，$B$两点，求$|AB|$的最大值．

难度：中等

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8．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左右焦点分别为F₁，F₂，且经过点 $P%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29$ ，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，A为直线x=4上的动点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点B在椭圆C上，满足OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

难度：较易

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9．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，点F₁，F₂是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F₁PF₂= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ 且△F₁PF₂的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 上，若OM⊥ON，求证：原点O到直线MN的距离是定值．

难度：较易

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10．一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l₁：x-2y=0和l₂：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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