知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．过椭圆
x2
2
+y2=1的左焦点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求
AO
•
AF1
的范围；
（2）若
OA
⊥
OB
，求直线l的方程．

难度：中等

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2．椭圆
x2
3
+
y2
2
=1内有一点P（1，1），一直线过点P与椭圆相交于P₁、P₂两点，弦P₁P₂被点P平分，求直线P₁P₂的方程．

难度：中等

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3．已知点P（x，y）是曲线y=
1-
x2
2
上一动点，则z=
y-2
x
的范围为．

难度：较难

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4．已知直线1：x+y-3=0，椭圆

+y2=1，则直线与椭圆的位置关系式（　　）

A．相交

B．相切

C．相离

D．相切或相交

难度：较难

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5．如图点F是椭圆的焦点，P是椭圆上一点，A，B是椭圆的顶点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：较难

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6．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2
2
，离心率e=
2
2
，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点，且直线l的斜率k＞0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OP⊥OQ，求直线l的方程．

难度：较难

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是其左右焦点，离心率为
6
3
，且经过点（3，1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A₁，A₂分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A₁Q斜率为k，且k∈(-
1
2
， -
1
3
)，求直线A₂Q斜率的取值范围；
（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F₁QF₂的最小值．

难度：较难

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8．已知椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有公共焦点F₂（1，0），且3a²=4b²．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁，与抛物线交于不同两点P，Q，且满足
F1P
=λ
F1Q
，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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9．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆长轴和短轴的两端点，以F₂为圆心过点A₂的圆与直线A₂B₂相交，弦长为
14
7
a．已知c=2，点P在椭圆上且在x轴上方，若△PF₁F₂为等腰三角形，求△PF₁F₂的面积及对应的P点的坐标．

难度：中等

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10．已知椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，
3
），且它的离心率e=
1
2
，直线L：y=kx+t与椭圆C₁交于M、N两点，若直线L与圆C₂：（x-1）²+y²=1相切，椭圆上一点P满足
OM
+
ON
=λ
OP
，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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