知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的面积为．

难度：较难

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，P为椭圆上异于A₁，A₂的点，PA₁和PA₂的斜率之积为-
3
4
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△MON面积的最大值．

难度：较难

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3．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
3
3
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
4
3
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，-
1
4
），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

难度：中等

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4．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，且过点B（0，1），M（2，t）（t＞0）是动点
（1）求椭圆的标准方程
（2）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值
（3）设点P（x，y）在椭圆上，求x+y的最大、最小值．

难度：中等

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5．若2x²+3y²=64，则x²+y²的最大值是．

难度：较易

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6．已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50×10⁸km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆上的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

难度：中等

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7．两边靠墙的角落有一个区域，边界线正好是椭圆轨迹的部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上．
（1）根据所给条件，求出椭圆的标准方程；
（2）求长方形面积S与边长x的函数关系式；
（3）求当边长x为多少时，面积S有最大值，并求其最大值．

难度：中等

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8．公园中有一个月亮门，上边是半径为
17
2
m的圆的劣弧，下边是长半轴等于2m，短半轴等于1m的半个椭圆，现要搬运一个横截面为矩形的货箱水平通过该月亮门．若矩形货箱的横截面的水平底边长为2m，则该货箱的高所允许的最大值为多少m．

难度：中等

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9．斜率为1的直线l与椭圆
x2
4
+y²=1相交于A，B两点，则|AB|得最大值为．

难度：较易

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10．已知A、B分别为椭圆x²+

=1的左右顶点，P是椭圆上第一象限的任一点，若∠PAB=α，∠PBA=β，则必有（　　）

A．2tanα+cotβ=0

B．2tanα-cotβ=0

C．tanα+2cotβ=0

D．tanα-2cosβ=0

难度：较易

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