知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知抛物线的焦点F（a，0）（a＜0），则抛物线的标准方程是（　　）

A．y²=2ax

B．y²=4ax

C．y²=-2ax

D．y²=-4ax

难度：中等

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3．过点（1，-2）的抛物线的标准方程是（　　）

A．y²=4x或x²= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ y

B．y²=4x

C．y²=4x或x²=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ y

D．x²=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ y

难度：易

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4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x 轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T（t，0）（t＞2），与抛物线交于点C．
（1）求抛物线W的标准方程；
（2）若t=6，曲线G：x²+y²-2ax-4y+a²=0与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；
（3）若|OB|²+|OC|²≤|BC|²，求△ABC的面积的最大值．

难度：中等

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5．焦点是F（0，1）的抛物线的标准方程是（　　）

A．x²=4y

B．y²=4x

C．x²=-4y

D．y²=-4x

难度：中等

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6．点P到定点F（0，3）的距离和它到定直线y=9的距离的比为1：3，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

难度：易

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7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且准线方程为x=-1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A，B两点，如果要同时满足：①|AB|≤8；②直线l与椭圆3x²+2y²=2有公共点，试确定直线l倾斜角的取值范围．

难度：中等

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8．已知抛物线C：y²=2px的焦点坐标F（1，0），过F的直线L交抛物线C于A、B两点，直线AO、BO分别与直线m：x=-2相交于M、N．
（1）求抛物线C方程．
（2）求 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3ABO%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3MNO%7D%7D$ 的值．

难度：较易

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9．已知直线m：y=2x-16，抛物线C：y²=ax（a＞0）．
（1）当抛物线C的焦点在直线m上时，确定抛物线C的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，求直线BC的方程．

难度：中等

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10．过抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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