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          共50条信息

            • 1． 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
              （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
              （Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．
              （Ⅰ）求抛物线C1的方程；
              （Ⅱ）已知椭圆C2：
              x2
              m2
              +
              y2
              n2
              =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，若椭圆C2上存在关于直线l：y=
              1
              4
              x+
              1
              3
              对称的两个不同的点，求椭圆C2的离心率e的取值范围．
              难度：较难
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            • 3． 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
              （1）求p的值；
              （2）过点Q（1，0）作两条直线l1，l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．
              难度：较难
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            • 4． 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
              （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
              （Ⅱ）设直线l：y=kx+t与圆x2+（y+1）2=1相切，且与抛物线交于不同的两点M，N，若△MON的面积为4，求直线l的方程．
              难度：中等
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            • 5． 已知曲线C：x2=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
              （Ⅰ）求曲线C的方程；
              （Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k1、k2，试探求k1、k2的关系，并证明你的结论．
              难度：较难
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            • 6． 已知抛物线C：y=x2，过点M（1，1）作两条相互垂直的直线，与抛物线的另两个交点分别为A，B
              （Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
              （Ⅱ）直线AB是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
              难度：较难
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            • 7． 已知点F是抛物线y2=2px的焦点，其中p是正常数，点M的坐标为（12，8），点N在抛物线上，且满足
              ON
              =
              3
              4
              OM
              ，O为坐标原点．
              （1）求抛物线的方程；
              （2）若AB，CD都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C．A两点在x轴上方，△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值．
              难度：中等
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            • 8． 已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）2+y2=1的切线（P点不在y轴上）．
              （Ⅰ）求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程；
              （Ⅱ）过点（1，0）作直线l与（Ⅰ）中的抛物线相交于M、N两点，问是否存在定点R，使
              RM
              •
              RN
              为常数？若存在，求出点R的坐标与常数；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 9． 已知抛物线C的顶点是椭圆
              x2
              4
              +
              y2
              3
              =1的中心，其焦点与该椭圆的右焦点重合．
              （1）求抛物线C的方程；
              （2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于M、N两点，自M、N点向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，记△FBM1，△FM1N1，△FNN1的面积分别为S1、S2、S3是否存在实数λ，使得对任意过焦点的直线，都有S22=λS1S3成立，若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 10． 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-
              2
              3
              x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B．
              （1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
              （2）已知在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标．
              （3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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