知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于A、B两点，l₂与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．

难度：中等

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2．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆x²+4y²=16有相同焦点，过点p（
5
，
6
），求此椭圆标准方程；
（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y-12=0的抛物线的标准方程．

难度：中等

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3．根据下列条件，求抛物线的标准方程．
（1）焦点坐标为（-2，0）；
（2）准线方程为y=-1；
（3）过点（1，2）．

难度：较易

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4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；
（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4
2
，求直线的方程．

难度：中等

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5．求适合下列条件的曲线方程．
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆标准方程；
（2）顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程．

难度：较易

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6．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

难度：较难

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7．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线l：y=x+1交抛物线C于A，B两点，求三角形AOB的面积．

难度：中等

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8．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y²=2px经过点（4，2），则实数p= ．

难度：较易

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9．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，且一直角边的方程是y=2x，斜边长是5，求此抛物线的方程．

难度：中等

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10．如图，一抛物线型石拱桥在如图所示的直角坐标系中，桥的最大高度为16m，跨度为40m．
（1）求抛物线的关系式；
（2）求距离y轴5m的石拱桥的高度．

难度：中等

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