知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．如图，已知F₁、F₂分别为椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．

难度：中等

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2．椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点到直线x-3y=0的距离为
10
5
，离心率为
2
5
5
，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使
1
|AB|
+
λ
|CD|
为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．（2016•兰州模拟）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，且经过点P（1，
3
2
）．过它的两个焦点F₁，F₂分别作直线l₁与l₂，l₁交椭圆于A、B两点，l₂交椭圆于C、D两点，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求四边形ACBD的面积S的取值范围．

难度：较难

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4．（2016•宜宾模拟）如图，已知圆G：x²+y²-2x-
2
y=0，经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为
5π
6
的直线l交椭圆于C，D两点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F₁与抛物线y²=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，-b）的直线的距离是
2
7
21
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F₁作PF₁的垂直于直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

难度：较难

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6．已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

难度：中等

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7．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使
PE
•
QE
恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．

如图，F₁，F₂是椭圆C₁：

=1（m＞n＞0）与双曲线C₂：

=1（a＞0，b＞0）的公共焦点，C₁，C₂的离心率分别记为e₁，e₂．A是C₁，C₂在第一象限的公共点，若C₂的一条渐近线是线段AF₁的中垂线，则

=（　　）

A．2

B．

C．

D．4

难度：较难

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9．已知与抛物线x²=4y有相同的焦点的椭圆E：
y
2

a
2

+
x
2

b
2

=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，-2），过（0，1）的直线与椭圆E交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点，过C、D分别作抛物线的两切线l₁、l₂．
（1）求椭圆E的方程并证明l₁⊥l₂；
（2）求△AMN面积的最大值．

难度：较难

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10．如图，在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2
2
，以CD边所在直线为y轴，线段CD的中点O为原点建立直角坐标系，直线AB上的动点E、F满足|AE|²+|BF|²=|AB|²．
（1）设直线CF、DE的交点为P，求点P的轨迹方程；
（2）过点Q（
5
，0）的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，若|MN|=2，求直线l的方程．

难度：较难

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