知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知动圆过定点(0，
1
2
)，且与直线y=-
1
2
相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q是轨迹C上一点，过Q作圆P：（x-6）²+y²=1的切线，其中A、B是切点，若轨迹C在点Q处的切线与直线AB平行，求直线AB方程．

难度：较难

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2．（2016•丰台区二模）已知椭圆w：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（0，
2
），椭圆w上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆w的方程；
（Ⅱ）如图，设直线l：y=kx（k≠0）与椭圆w交于P，A两点，过点P（x₀，y₀）作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆w于另一点B．
①用直线l的斜率k表示直线AC的斜率；
②写出∠APB的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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3．已知定圆A：(x+
3
)2+y2=16，动圆M过点B(
3
，0)，且和圆A相切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，点N（4，0）．若P、Q、N三点不共线，且∠ONP=∠ONQ．证明：动直线PQ经过定点．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1的焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求以线段F₁，F₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知圆M：x2+y2-2
3
x=0的圆心是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），OA、OB斜率之积为-
1
4
，求
x
2
1
+
x
2
2
的值．

难度：中等

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6．已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为x=
2
2
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点M（-2，0）的直线l交双曲线C于A、B两点，并且三角形OAB的面积为2
3
，求直线l的方程；
（3）在（2）中是否存在这样的直线l，使OA⊥OB？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，且过点（2，

）．又M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，则

|MN|

|PQ|

为定值（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：中等

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8．已知椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为2
2
，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为(
10
c
-c，0)且
OF
=2
FA
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．
①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；
②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x₀，0），使得以MP，MQ为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．直线y=x+m与双曲线2x²-y²=2交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求m的值及弦AB的长．

难度：中等

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10．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-
3
，0）、F₂（
3
，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得
QA
•
QB
为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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