知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．（2016•河南模拟）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点B(0，
3
)为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F₂，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

难度：较难

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2．已知椭圆C₁：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
3
，且经过点（1，
6
2
），抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C₁的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C₂交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C₂的切线l₁，l₂，求直线l₁，l₂的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x²+y²=5上任意一点P作椭圆C₁的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．

难度：中等

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3． O为坐标原点，直线l与圆x²+y²=2相切．
（1）若直线l分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及面积取得最小值时的直线l的方程．
（2）设直线l交椭圆
x2
6
+
y2
3
=1于P、Q两点，M为PQ的中点，求|OM|的取值范围．

难度：中等

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4．如图，F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=
5
，过F作OF的垂线交椭圆于P₀，Q₀两点，△OP₀Q₀的面积为
4
5
3
．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若过点M（-
5
，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直线l的方程．

难度：中等

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5．（2016•广西模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2
2
，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3
2
，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
OM
•
OP
为定值．

难度：较难

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6．已知椭圆M：
x2
4b2
+
y2
b2
=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2
3
．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

难度：中等

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7．（2016•天津校级模拟）椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
3
2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的两焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆C的上顶点，求△PF₁F₂内切圆方程；
（Ⅲ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

难度：较难

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点(
2
， 0)和（0，1），其右焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若
AF
=3
FB
，求|
OA
+
OB
|的值（其中O为坐标原点）．

难度：中等

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9．设p＞0，抛物线方程为C：x²=2px．如图所示，过焦点F作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过点（0，-1）．
（1）求满足条件的抛物线方程；
（2）过点（0，-2）作抛物线C的切线，若切点在第二象限，求切线m的方程．

难度：较难

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10．已知抛物线C₁：y²=2px上一点M（3，y₀）到其焦点F的距离为4；椭圆C₂：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，且过抛物线的焦点F．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线l₁交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ
AF
，
NB
=μ
BF
，求证：λ+μ为定值．
（Ⅲ）直线l₂交椭圆C₂于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0，若点S满足：
OS
=
OP
+
OQ
，证明：点S在椭圆C₂上．

难度：较难

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