知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且过定点M（1，
2
2
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx-
1
3
（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，离心率为
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点A（0，-2）且斜率为k（k≠0）直线l与椭圆C交于不同两点P、Q，当线段PQ的长度为
4•
2
5
时，求三角形OPQ（O为坐标原点）的面积．

难度：中等

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3．已知点A（-1，0），B（1，0）直线AM，BM相交于点M，且k_MA×k_MB=-2．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过定点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P、Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面积的最大值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知椭圆C与椭圆E：
x2
7
+
y2
5
=1共焦点，并且经过点A(1，
6
2
)，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P₁为点P关于轴x的对称点，QP₁所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

难度：中等

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5．已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点E(1，-
2
3
3
)，且焦距为2，过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k₁+k₂=1，直线MN是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点在圆x²+y²=1上，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，求出k为何值时，OA⊥OB．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
2
x的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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8．（2015秋•安阳校级期末）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
1
2
，它的一个短轴端点是（0，2
3
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
①若直线AB的斜率为
1
2
，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

难度：中等

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9．已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），一定点为P（-8，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过P的直线与椭圆交于P₁，P₂两点，求△P₁F₂F面积的最大值及此时直线的斜率．

难度：中等

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10．（2015秋•福州校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为
2
3
3
，过点A的直线与椭圆W交于另一点C，
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程
（Ⅱ）当AC的斜率为
1
3
时，求线段AC的长；
（Ⅲ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D，求直线AC的斜率．

难度：中等

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