知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P（m，n）是抛物线x²=16y上的一点，抛物线的焦点为F，若|PF|=5，则|mn|= ．

难度：中等

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2．过异于原点的点P（x₀，y₀）引椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的割线PAB，其中点A．B在椭圆上，点M是割线PAB上异于P的一点，且满足
AM
MB
=
AP
PB
．
求证：点M在直线
x0x
a2
+
y0y
b2
=1上．

难度：中等

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3．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0．设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为
3
2
，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|
GF
|+|
CF
|=4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得
OP2
=4
PA
•
PB
成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知椭圆
x2
4
+y²=1左顶点为A，下顶点B，分别过A和B作两条平行直线l₁和l₂，其中l₁与y轴交于C点，与椭圆交于另一点为P，l₂与x轴交于D点，与椭圆交于另一点为Q，设直线CD与直线PQ交于点E．
（1）当直线OP与直线OQ的斜率都存在时，证明：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
（2）证明：直线OE∥直线l₁．

难度：中等

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5．平面直角坐标系xoy中，点P为椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的下顶点，M、N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线0N的倾斜角，若α∈[
π
4
，
π
3
]，则椭圆C的离心率的取值范围为．

难度：较易

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6．如图，A、B分别是椭圆C：
x2
4
+
y2
b2
=1（2＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，|AF|×|FB|=3．
（1）求b；
（2）已知直线l过点A且垂直于x轴，点Q是直线l异于A的动点，直线BQ交椭圆C于点P，证明：AP⊥FQ．

难度：中等

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7．已知过点M（
2
2
，
3
2
）的椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若这个椭圆的一个焦点为F（-1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F（-1，0）、倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆C于两点，求这两点间的距离．

难度：较易

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8．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，且经过点（
2
，
3
3
）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线1经过点F（
2
，0）与直线x=
3
2
2
交于点M，与椭圆交于A，B两点，设P为直线x=
2
上异于F的点，设PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，求证：k₁+k₂=2k₃．

难度：中等

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，且
OM
+
ON
=λ（3，-1）．
（1）求
a
b
的值；
（2）试证明直线OM的斜率k₁与直线ON的斜率k₂的乘积k₁•k₂为定值，并求该定值；
（3）设A为椭圆上任意一点，且满足
OA
=α（
OM
+
ON
）+β
MN
（α，β∈R），求αβ的最大值．

难度：中等

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10．已知过点（0，-
3
）的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直AB与椭圆交于不同两点A、B，点A关于x轴的对称点为A′，若直线AB过定点T（
2
，0），求证：直线A′B过定点P（2
2
，0）．

难度：中等

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