知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•苏州一模）如图，已知椭圆O：
x2
4
+y²=1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值；
②求
PB
•
PM
的取值范围．

难度：中等

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2．已知直线l过定点（0，4），且与抛物线x²=4y相交于点A，B，点O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若△OAB的面积为12
2
，求直线l的方程．

难度：中等

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3．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与焦点为F的抛物线y²=8x相交于A，B两点，若|

|=4|

|，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：较难

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4．过椭圆

+y²=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（　　）

A．1

B．2

C．-1

D．-2

难度：较难

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5．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，其右焦点关于直线y=x+1的对称点的纵坐标是2，椭圆C的右顶点为D．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B与椭圆的左、右顶点不重合），且满足DA⊥DB，求直线l在x轴上的截距．

难度：中等

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6．已知抛物线：y²=2px，直线AB，CD过焦点F，与抛物线交于A，B，C，D，且AB⊥CD，∠AOB=90°．求证：
1
FA•
FB
+
1
FC
•
FD
为定值．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，且C过点Q（1，
3
2
），
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求曲线在点Q处的切线方程；
（Ⅲ）设点P（x₀，y₀）为圆x²+y²=5上任意一点，过点P向曲线C作切线，切点分别为A、B，试证明∠APB为定值．

难度：中等

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8．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P（2，3），离心率e=
1
2
，直线1的方程为y=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过（0，3）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得
1
k1
十
1
k2
=
λ
k3
？若存在，求λ的值．

难度：中等

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9．已知直线y=kx+4与椭圆
x2
3
+
y2
4
=1有两个不同的交点，求k的取值范围．

难度：中等

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10．若直线y=x+m与椭圆

=1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）

A．（-5，5）

B．（-2，2）

C．（-

，

）

D．（-

，

）

难度：较易

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