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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，点\(( \sqrt {2}, \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)在\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，\(O\)为坐标原点，且\(OP⊥OQ\)，求\(\triangle OPQ\)面积的最小值．
              难度：较易
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            • 2．

              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过抛物线\(M\)：\(x^{2}=4y\)的焦点\(F\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C\)的左、右焦点，且\( \overrightarrow{F_{1}F}\cdot \overrightarrow{F_{1}F_{2}}=6\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与抛物线\(M\)相切，且与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle OAB\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，若椭圆上一点满足\(P( \dfrac {2 \sqrt {6}}{3},-1)\)满足\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\)，过点\(R(4,0)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于两点\(M\)，\(N\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\(M\)作\(x\)轴的垂线，交椭圆\(C\)于\(G\)，求证：存在实数\(λ\)，使得\( \overrightarrow{GF_{2}}=λ \overrightarrow{F_{2}N}\)．
              难度：较易
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            • 4．
              设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点与抛物线\(y^{2}=16x\)的焦点相同，离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，则此椭圆的方程为 ______ ．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点分别为\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，左右焦点为分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，焦距为\(2\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若\(P\)为椭圆上一动点，直线\(l_{1}\)过点\(A_{1}\)且与\(x\)轴垂直，\(M\)为直线\(A_{2}P\)与\(l_{1}\)的交点，\(N\)为直线\(A_{1}P\)与直线\(MF_{2}\)的交点，求证：点\(N\)在一个定圆上．
              难度：较易
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(M\)为椭圆上任意一点，当\(∠F_{1}MF_{2}=90^{\circ}\)时，\(\triangle F_{1}MF_{2}\)的面积为\(1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(A\)是椭圆\(C\)上异于椭圆顶点的一点，延长直线\(AF_{1}\)，\(AF_{2}\)分别与椭圆交于点\(B\)，\(D\)，设直线\(BD\)的斜率为\(k_{1}\)，直线\(OA\)的斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}⋅k_{2}\)为定值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)和\(F_{2}\)，由\(4\)个点\(M(-a,b)\)、\(N(a,b)\)、\(F_{2}\)和\(F_{1}\)组成了一个高为\( \sqrt {3}\)，面积为\(3 \sqrt {3}\)的等腰梯形．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)过点\(F_{1}\)的直线和椭圆交于两点\(A\)、\(B\)，求\(\triangle F_{2}AB\)面积的最大值．
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，点\(A\)在椭圆\(C\)上，\(|AF_{1}|=2\)，\(∠F_{1}AF_{2}=60^{\circ}\)，过\(F_{2}\)与坐标轴不垂直的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(P\)，\(Q\)的中点为\(N\)，在线段\(OF_{2}\)上是否存在点\(M(m,0)\)，使得\(MN⊥PQ\)？若存在，求实数\(m\)的取值范围；若不存在，说明理由．
              难度：较易
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            • 9．
              设椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个顶点与抛物线\(x^{2}=4 \sqrt {3}y\)的焦点重合，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，且离心率\(e= \dfrac {1}{2}\)，过椭圆右焦点\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(NM\)，两点．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=-2\)，求直线\(l\)的方程；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(AB\)是椭圆\(C\)经过原点\(O\)的弦，\(MN/\!/AB\)，求证：\( \dfrac {|AB|^{2}}{|MN|}\)为定值．
              难度：较易
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\;(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，经过点\((0,1)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设直线\(y=x\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点，与直线\(y=x\)交于点\(P(\)点\(P\)与点\(A\)，\(B\)，\(M\)，\(N\)不重合\()\)．
              \((ⅰ)\)当\(k=-1\)时，证明：\(|PA||PB|=|PM||PN|\)；
              \((ⅱ)\)写出\( \dfrac {|PA||PB|}{\;|PM||PN|}\)以\(k\)为自变量的函数式\((\)只需写出结论\()\)．
              难度：较易
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