\(21.\)已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，\(P\)为椭圆上的一点，且\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的面积为\( \sqrt{3}\)．

 \((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)若直线\(l\)：\(y=- \dfrac{1}{2}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，与以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆交于\(C\)，\(D\)两点，且满足\( \dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\)，求直线\(l\)的方程．

已知点\(F\)为椭圆\(E\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{y}{2}=1\)与椭圆\(E\)有且仅有一个交点\(M\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)设直线\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{y}{2}=1\)与\(y\)轴交于\(P\)，过点\(P\)的直线\(l\)与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若\(λ|PM|^{2}=|PA|·|PB|\)，求实数\(λ\)的取值范围．

已知\(F\)_\(1\)、\(F\)_\(2\)是椭圆\(C\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，\(P\)为椭圆\(C\)上的一点，且\(PF\)_\(1\)\(⊥PF\)_\(2\)，若\(\triangle PF\)_\(1\)\(F\)_\(2\)的面积为\(9\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的周长为\(18\)”，求该椭圆的方程．

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt{6}=0\)相切，则椭圆\(C\)的方程为\((\)　　\()\)

如果\({{x}^{2}}+k{{y}^{2}}=2\)表示焦点在\(y\)轴上的椭圆，那么实数\(k\)的取值范围是\((\)    \()\)

已知椭圆\({x}^{2}+2{y}^{2}={a}^{2}\left(a > 0\right) \)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为\(4\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)已知直线\(y=k(x-1)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，试问，是否存在\(x\)轴上的点\(M(m,0)\)，使得对任意的\(k∈R \)，\( \overset{→}{MA}· \overset{→}{MB} \)为定值，若存在，求出\(M\)点的坐标，若不存在，说明理由．

已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端 点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，过椭圆 的右焦点的动直线 与椭圆 相交于 、 两点．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆 的方程\(;\)

\((\)Ⅱ\()\)若线段 中点的横坐标为 ，求直线 的方程\(;\)