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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
              \((1)\)求椭园\(C\)的方程
              \((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由
              难度：中等
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            • 2．
              如图，椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(P(1, \dfrac {3}{2})\)，离心率\(e= \dfrac {1}{2}\)，直线\(l\)的方程为\(x=4\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)AB\)是经过右焦点\(F\)的任一弦\((\)不经过点\(P)\)，设直线\(AB\)与直线\(l\)相交于点\(M\)，记\(PA\)，\(PB\)，\(PM\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，\(k_{3}.\)问：是否存在常数\(λ\)，使得\(k_{1}+k_{2}=λk_{3}\)？若存在，求\(λ\)的值；若不存在，说明理由．
              ​
              难度：较难
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)中心在原点，离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，其右焦点是圆\(E\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的圆心．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)如图，过椭圆\(C\)上且位于\(y\)轴左侧的一点\(P\)作圆\(E\)的两条切线，分别交\(y\)轴于点\(M\)、\(N.\)试推断是否存在点\(P\)，使\(|MN|= \dfrac { \sqrt {14}}{3}\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，其中\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为左、右焦点，且离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，直线\(l\)与椭圆交于两不同点\(P(x_{1},y_{1})\)，\(Q(x_{2},y_{2}).\)当直线\(l\)过椭圆\(C\)右焦点\(F_{2}\)且倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)时，原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)若\( \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{ON}\)，当\(\triangle OPQ\)面积为\( \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)时，求\(| \overrightarrow{ON}|⋅| \overrightarrow{PQ}|\)的最大值．
              难度：中等
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            • 5．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(-2,-1)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)过点\(M\)作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆\(C\)交于异于\(M\)的另外两点\(P\)、\(Q\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)试判断直线\(PQ\)的斜率是否为定值，证明你的结论．
              难度：中等
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且\(|F_{1}F_{2}|=2\)，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(\triangle AF_{2}B\)的面积为\( \dfrac {12 \sqrt {2}}{7}\)，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 7．
              如图，椭圆\(C_{1}： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(x\)轴被曲线\(C_{2}：y=x^{2}-b\)截得的线段长等于\(C_{1}\)的短轴长\(.C_{2}\)与\(y\)轴的交点为\(M\)，过坐标原点\(O\)的直线\(l\)与\(C_{2}\)相交于点\(A\)、\(B\)，直线\(MA\)，\(MB\)分别与\(C_{1}\)相交于点\(D\)、\(E\)．
              \((1)\)求\(C_{1}\)、\(C_{2}\)的方程；
              \((2)\)求证：\(MA⊥MB\)．
              \((3)\)记\(\triangle MAB\)，\(\triangle MDE\)的面积分别为\(S_{1}\)、\(S_{2}\)，若\( \dfrac {S_{1}}{S_{2}}=λ\)，求\(λ\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个长轴顶点为\(A(2,0)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，直线\(y=k(x-1)\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(M\)，\(N\)，
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(\triangle AMN\)的面积为\( \dfrac { \sqrt {10}}{3}\)时，求\(k\)的值．
              难度：难
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            • 9．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\((2,1)\)在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)与圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=2\)相切，与椭圆\(C\)相交于\(P\)，\(Q\)两点．
              \(①\)若直线\(l\)过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)，求\(\triangle OPQ\)的面积；
              \(②\)求证：\(OP⊥OQ\)．
              难度：难
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.\)设过点\(F_{2}\)的直线\(l\)被椭圆\(C\)截得的线段为\(RS\)，当\(l⊥x\)轴时，\(|RS|=3\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(T(4,0)\)，证明：当直线\(l\)变化时，直线\(TS\)与\(TR\)的斜率之和为定值．
              难度：较易
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