知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•怀化二模）如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=
2
，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD
（1）求证：AF⊥平面BEG；
（2）若AF=FG，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016•湛江一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2
3
，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=6，BE=3．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值．

难度：中等

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4．（2016春•江西月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E为线段PC上一点，且AC⊥BE，
（1）求证：PA∥平面BED；
（2）若BC∥AD，BC=
2
，AD=2
2
，PA=3且AB=CD，求PB与面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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5．已知四棱锥P-ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=
1
2
AB，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且AN=CS=
1
4
AB．
（1）证明：DM⊥SN；
（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值．

难度：中等

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7．如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=
π
2
，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若BC=CD=CE=
1
2
AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．

难度：中等

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8．（2015秋•松原校级期末）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．
（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

难度：较难

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9．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=
3
．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若∠CBA=60°，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，在平面α内有一条线段AB，分别过A，B作平面α的垂线段AC，BD（在平面α的同一侧），且AC=2BD，连接CD，过B作AB的垂线BE．
（Ⅰ）求证：BE⊥CD；
（Ⅱ）若AB=BE=2，CE=4，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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