知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若
DC
=λ
AB
，且向量
PC
与
BD
夹角的余弦值为
15
15
．
（1）求实数λ的值；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016•梅州二模）如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A₁B=
6
．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求直线BC₁到平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值．

难度：中等

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4．（2016•包头一模）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．
（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；
（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=
2
AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．在正三棱柱△ABC-△A₁B₁C₁中，AB=1，点D在棱BB₁上，若BD=1，则AD与平面AA₁C₁C所成角的正切值为．

难度：中等

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7．如图，在四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成的角的余弦值．

难度：中等

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8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果对角线AC₁与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ= ．

难度：中等

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9．正方体AC₁中，BC₁与平面AB₁C所成的角是；A₁C与截面A₁BD所成的角是．

难度：中等

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10． PA，PB是平面α的斜线，∠APB=90°，AB=10，P到平面α的距离为3，PA与平面α所成角为30°，求PB与平面α所成角的大小．

难度：中等

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