知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为
6
2
，当F是PC中点时，求二面角C-AF-E的余弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．如图：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均相等，AA₁⊥平面ABC，E为AA₁的中点．
（1）求证：平面BC₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直线BC₁与平面BB₁A₁A所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．如图所示，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA₁=2A₁B₁=2．
（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅱ）求直线DD₁与平面A₁BD所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中点，且∠BCD=120°．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求直线PD与平面CDM所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
5．如图，三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB，PA=PB=AB=6，BC=9，点M，N分别为PB，BC的中点．
（1）求证：AM⊥平面PBC；
（2）E是线段AC上的点，且AM∥平面PNE．
①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面积为
9
2
的△ACB是等腰直角三角形且∠ACB=90°，C₁B⊥面ABC，C₁B=3．
（1）若AB的中点为S，证明：CS⊥C₁A．
（2）设T(3-λ，λ，
4λ+3
2
)，是否存在实数λ，使得直线TB与平面ACC₁A₁的夹角为
π
6
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=
5
．
（1）求证：PD⊥PB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
AM
AP
的值；若不存在，说明理由．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面A₁B₁C₁AC=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求直线BC₁与平面A₁BE所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，请在图2中解决下列问题：
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM∥平面APQ．
（3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷