知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=
2
AB=2CF=2
（1）求证：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

难度：中等

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2．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

难度：中等

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3．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为AC，AB，AP的中点，M，N分别为线段PC，PB上的动点，且有MN∥BC，
（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAC
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角E-MN-F为直二面角？若存在，求CM的长度，若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为线段AD的中点．
（1）求直线MF与直线BD所成角的余弦值；
（2）若平面ABF与平面DBF所成角为θ，且tanθ=2
2
，求线段AB的长．

难度：中等

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5．如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
2
a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

难度：较难

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6．已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB₁C，设顶点B₁在平面ABCD上的投影为O．
（1）若点O恰好落在边AD上，
①求证：AB₁⊥平面B₁CD；
②若B₁O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值
（2）当k=
3
时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B₁-AC-D的余弦值的取值范围．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

难度：中等

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8．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥BC，过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．
（1）求证：MN∥PE；
（2）设
AN
AP
=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

难度：中等

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10．己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，N是CC₁的中点．
（I）求证：A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-C的余弦值．

难度：中等

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