知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=
2
AB=2CF=2
（1）求证：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

难度：中等

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2．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

难度：中等

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3．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为AC，AB，AP的中点，M，N分别为线段PC，PB上的动点，且有MN∥BC，
（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAC
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角E-MN-F为直二面角？若存在，求CM的长度，若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为线段AD的中点．
（1）求直线MF与直线BD所成角的余弦值；
（2）若平面ABF与平面DBF所成角为θ，且tanθ=2
2
，求线段AB的长．

难度：中等

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5．如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
2
a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

难度：较难

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6．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°
（1）证明：BB₁⊥AC；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C大小为60°，连接AC，BD，设交点为O，连接B₁O．求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．
（球体体积公式：V=
4
3
πR³，R是球半径）

难度：中等

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7．如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长．

难度：中等

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8．（2012秋•温州期末）如图，将∠B=
π
3
，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D，若θ∈[
π
3
，
2π
3
]，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：
①AC⊥MN；
②DM与平面ABC所成的角是θ；
③线段MN的最大值是
3
4
，最小值是
3
4
；
④当θ=
π
2
时，BC与AD所成的角等于
π
2
．
其中正确的说法有（填上所有正确说法的序号）．

难度：较难

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9．已知ABCD中，AD=BC．AD∥BC，且AB=3
2
，AD=2
3
．BD=
6
，沿BD将其折成一个二面角A-BD-C，使得AB⊥CD．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求折后点A到面BCD的距离．

难度：中等

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10．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=
3
，BC=
6
，∠PBA=
π
3
，点D，E，F分别是PA、PB、PC上的点并且满足PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
（Ⅰ）求证：AB⊥DF；
（Ⅱ）设平面ABC与平面AEF所成角为θ，求cosθ的值．

难度：中等

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