知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=1，AD=
3
，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）当PC⊥BD时，求PB的长．

难度：较难

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2．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，P为线段B₁D₁上一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BP；
（Ⅱ）当P为线段B₁D₁的中点时，求点A到平面PBC的距离．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=2，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（Ⅲ）若AA₁=3，BP=a，且AP⊥A₁C，写出a的值（不需写过程）．

难度：中等

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4．已知点A（1，2，-1），点B与点A关于平面xoy对称，则线段AB的长为．

难度：中等

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5．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求点P到平面EFG的距离；
（2）求平面EFG与平面PAB夹角余弦值的大小．

难度：中等

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6．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求侧棱AA₁与底面ABC所成的角；
（2）求顶点C到平面A₁ABB₁的距离．

难度：较难

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7．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=4，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求三棱锥D-PBC的高．

难度：中等

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BC₁的距离．

难度：中等

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9．过原点的直线交双曲线x²-y²=4

于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（　　）

A．2

B．4

C．4

D．3

难度：较难

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10．如图已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点M在AC上，点N在BC₁上，且|AM|=2|MC|，|BN|=2|NC|．
（1）求证：MN||平面DCC₁D₁；
（2）以DA，DC和DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出M，N点坐标，求出M，N两点间的距离．

难度：中等

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