知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•南通模拟）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|
AB
|=1，
A1P
=λ
A1C
(0＜λ＜1)．
（1）若λ=
1
2
，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

难度：较难

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
2
，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

难度：中等

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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4．如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A₁B₁C₁，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M，N分别为A₁B₁，A₁A的中点．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求证：BN⊥平面C₁MN．

难度：较难

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5．如图，在四棱锥0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

难度：中等

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6．如图，已知平面BCC₁B₁是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4．
（Ⅰ）求证：B₁O⊥平面AEO；
（Ⅱ）求二面角B₁-AE-O的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-B₁OE的体积．

难度：中等

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7．（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

难度：中等

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8．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1，SB=
7
，∠BAD=120°，E在棱SD上．
（Ⅰ）当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC；
（Ⅱ）当二面角S-AC-E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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