知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
（1）求证：平面DEG∥平面BCF；
（2）若D，E为AB，AC上的中点，H为BC中点，求异面直线AB与FH所成角的余弦值．

难度：较易

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2．如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB．CD．CC₁的中点．
（1）求直线 A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG．

难度：较易

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3．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面OC₁D∥面AB₁D₁．

难度：难

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；
（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．

难度：较易

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5．如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N，E分别是棱A₁B₁，A₁D₁，C₁D₁的中点．
（1）过AM作一平面，使其与平面END平行（只写作法，不需要证明）；
（2）在如图的空间直角坐标系中，求直线AM与平面BMND所成角的正弦值．

难度：较易

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6．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，S是B₁D₁的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：
（1）直线EG∥平面BDD₁B₁；
（2）平面EFG∥平面BDD₁B₁．

难度：较难

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7．
如图所示，在三棱柱$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$中，$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$AC$，$A_{1}B_{1}$，$A_{1}C_{1}$的中点，
求证：$(1)GH/\!/$面$ABC$
$(2)$平面$EFA_{1}/\!/$平面$BCHG$．

难度：较易

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；
（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．

难度：较易

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9．已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=60°，AC=BC=4，AA₁=6，E、F分别是棱CC₁、AB的中点．
（1）求证：平面AEB₁⊥平面AA₁B₁B；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积．

难度：较易

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10．已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；
②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．
其中是平面α∥平面β的充分条件的为 ______ ．（填上所有符合要求的序号）

难度：较易

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