知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB．
（1）求AD₁与面BB₁D₁D所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱AA₁上，若二面角E-BD-C₁的余弦值为
3
3
，求
AE
AA1
的值．

难度：中等

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2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足
PM
=λ
MC
（λ＞0）．
（1）当λ=
1
2
时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）若二面角M-AB-C的大小为
π
4
，求λ的值．

难度：较难

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3．如图，三棱柱ABC-DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；
（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P-GE-B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=
1
3
BC
（1）求证：MN⊥AB
（2）求二面角P-AN-M的余弦值．

难度：中等

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5．在正三角形ABC中，E、F、P分别是-AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）．

（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B一A₁P一F的余弦值的大小．

难度：中等

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6．已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，侧面CC₁D₁D垂直底面ABCD，BC=2AB=DC₁=2，BD₁=2
3

（1）求证：平面AB₁C₁D⊥平面ABCD
（5）点E是棱BC的中点，求二面角A₁-AE-D的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，∠PCA=90°，E，F分别为AP，AC的中点，且PA=4，BE=
3
．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-BP-C的余弦值．

难度：中等

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8．如图，正四棱锥P-ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．
（Ⅰ）若OE=1，求二面角B-PQ-D的平面角的余弦值；
（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P-ABCD和Q-ABCD公共部分的体积．

难度：较难

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9．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求平面PEC与平面ECD夹角的余弦值．

难度：中等

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10．已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=
3
，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点．
（1）求证：MN⊥EA；
（2）求二面角M-NE-A的余弦值．

难度：中等

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