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          共50条信息

            • 1．

              已知空间四边形\(ABCD\)中，\(E\)、\(H\)分别是\(AB\)、\(AD\)的中点，\(F\)、\(G\)分别是\(BC\)、\(CD\)上的点，且\( \dfrac{CF}{CB}= \dfrac{CG}{CD}= \dfrac{2}{3} \)．
              求证：\((1)E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)四点共面；\((2)\)三条直线\(EF\)、\(GH\)、\(AC\)交于一点．

              难度：较难
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            • 2．

              如图所示，在正方体\(ABCD-A\)\(1\)\(B\)\(1\)\(C\)\(1\)\(D\)\(1\)中，\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)和\(AA\)\(1\)的中点，如何证明“\(CE\)，\(D_{1}F\)，\(DA\)交于一点”？


              难度：较易
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            • 3．
              如图，在正方体\(ABCD-A\)\({\,\!}_{1}\) \(B\)\({\,\!}_{1}\) \(C\)\({\,\!}_{1}\) \(D\)\({\,\!}_{1}\) 中，\(O\)为正方形\(ABCD\)的中心，\(H\)为直线\(B\)\({\,\!}_{1}\) \(D\)与平面\(ACD\)\({\,\!}_{1}\) 的交点\(.\)求证：\(D\)\({\,\!}_{1}\) 、\(H\)、\(O\)三点共线．
              难度：中等
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            • 4．
              如图，在以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)为顶点的五面体中，面\(ABEF\)为矩形，\(AF⊥DF\)，且二面角\(D-AF-E\)与二面角\(C-BE-F\)都等于\(α(0 < α < \dfrac {π}{2})\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(ABEF⊥\)平面\(EFDC\)
              \((\)Ⅱ\()\)求证：四边形\(EFDC\)为等腰梯形．
              难度：难
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            • 5．
              已知\(\triangle ABC\)和\(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\)所在平面相交，并且\(AA_{1}\)，\(BB_{1}\)，\(CC_{1}\)交于一点．
              \((1)\)求证：\(AB\)和\(A_{1}B_{1}\)在同一平面内；
              \((2)\)若\(AB∩A_{1}B_{1}=M\)，\(BC∩B_{1}C_{1}=N\)，\(AC∩A_{1}C_{1}=P\)，求证：\(M\)，\(N\)，\(P\)三点共线．
              难度：较易
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            • 6．

              如图\(1\)，\(\Delta AF{{A}_{1}}\)中，\(FA=F{A}_{1},A{A}_{1}=8,CF=2 \)，点\(B,C,D\)为线段\(A{{A}_{1}}\)的四等分点，线段\(BE,CF,DG\)互相平行，现沿\(BE,CF,DG\)折叠得到图\(2\)所示的几何体，此几何体的底面\(ABCD\)为正方形．

              \((1)\)证明：\(A,E,F,G\)四点共面；

              \((2)\)求四棱锥\(B-AEFG\)的体积．

              难度：中等
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            • 7．
              如图，已知直四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面是直角梯形，\(AB⊥BC\)，\(AB/\!/CD\)，\(E\)，\(F\)分别是棱\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)上的动点，且\(EF/\!/CC_{1}\)，\(CD=DD_{1}=1\)，\(AB=2\)，\(BC=3\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：无论点\(E\)怎样运动，四边形\(EFD_{1}D\)都为矩形；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(EC=1\)时，求几何体\(A-EFD_{1}D\)的体积．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AC⊥AD\)，\(AB⊥BC\)，\(∠BCA=45^{\circ}\)，\(AP=AD=AC=2\)，\(E\)、\(F\)、\(H\)分别为\(PA\)、\(CD\)、\(PF\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)设面\(PAB∩\)面\(PCD=l\)，求证：\(CD/\!/l\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(AH⊥\)面\(EDC\)．
              难度：较易
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            • 9． 如图，梯形\(ABCD\)中，\(CE⊥AD\)于\(E\)，\(BF⊥AD\)于\(F\)，且\(AF=BF=BC=1\)，\(DE= \sqrt {2}\)，现将\(\triangle ABF\)，\(\triangle CDE\)分别沿\(BF\)与\(CE\)翻折，使点\(A\)与点\(D\)重合．
              \((\)Ⅰ\()\)设面\(ABF\)与面\(CDE\)相交于直线\(l\)，求证：\(l/\!/CE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)试类比求解三角形的内切圆\((\)与三角形各边都相切\()\)半径的方法，求出四棱锥\(A-BCEF\)的内切球\((\)与四棱锥各个面都相切\()\)的半径．
              难度：较易
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            • 10．
              如图，在空间四边形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)分别是\(AB\)，\(BC\)，\(CD\)，\(DA\)的中点．
              \((1)\)求证：四边形\(EFGH\)是平行四边形．
              \((2)\)求证：\(AC/\!/\)平面\(EFGH\)．
              难度：难
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