知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ADF；
（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N-ADF的体积．

难度：中等

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2．（2016•连云港模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．

难度：中等

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3．（2016•泰安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

难度：中等

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4．（2015秋•菏泽期末）如图，四棱锥A-BCDE中，AB=BCC，BE=
1
2
CD．CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：面ADE⊥面ACD．

难度：中等

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5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1，
（1）求证：直线BC₁∥平面D₁AC；
（2）求直线BC₁到平面D₁AC的距离．

难度：中等

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6．（2015秋•新疆校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，且AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E、F为BC、AB的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）若在线段PA上存在点G，使得FG∥平面PDE．试确定点G的位置．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG
（2）在线段AC上是否存在一点G使FG∥平面PBD，并说明理由．

难度：较易

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8．如图，三棱台DEF-ABC中，底面是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（I）求证：直线BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若BC=CF=
AB
2
，求二面角A-GH-F的余弦值．

难度：较难

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9．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=4，BC=2
2
，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB₁上一点，BD∥平面AC₁E．
（Ⅰ）求线段B₁E的长；
（Ⅱ）求二面角C₁-AC-E的余弦值．

难度：中等

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10．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，点E是AC的中点，点F是线段AD上的动点，AB=BC=2．
（1）若DC∥平面BEF，求
AF
AD
的值；
（2）若EF⊥AD，当平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是
2
17
17
时，求CD的长．

难度：中等

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