知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•临沂二模）在如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，平面ADF⊥平面ABEF，且AB∥EF，AB=
1
2
EF=2
2
，AF=BE=2，M是EF的中点，N在AM上．
（I）求证：DN∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面ABEF⊥平面ABCD．

难度：中等

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2．（2016春•湖北期中）如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是
3
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）在线段AA₁上是否存在一点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．（2016•济宁二模）如图，已知四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形且AB⊥AD，AB∥CD，M、N、P分别为EC、FC、FB的中点．
（Ⅰ）求证：MP∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面MNP⊥平面EDC．

难度：中等

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4．（2016•山西校级二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求证：PB∥平面AEC．

难度：中等

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5．（2016•商丘三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求三棱锥P-DEF的体积．

难度：中等

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6．（2015秋•北京校级期中）如图所示，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，且F为的BE中点
（1）画出平面BDE与平面ABC的交线（写出画法）
（2）求证：DF∥平面ABC
（3）求证：AF⊥BD．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是边长为
3
的正三角形，AC与BD交于点O，点M是PB的中点．
（1）求证：OM∥平面PAD；
（2）求三棱锥M-PCD的体积．

难度：中等

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8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求证：平面A₁BC⊥平面CDB₁．

难度：中等

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9．如图所示的几何体P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AD∥BC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PB⊥AC．
（1）证明：PA=PC；
（2）证明：CF∥平面PBE．

难度：中等

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10．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为EC中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求四棱锥M-EFDA的体积．

难度：较易

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