知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•淄博二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．
（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱锥E-AFB的体积．

难度：中等

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2．（2016•宁德模拟）在四棱锥P-ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若△PAC是边长为2的等边三角形，PB=
2
，求三棱锥P-BEC的体积．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁，
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

难度：较易

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4．（2016•资阳三模）如图，在三棱锥P-AMC中，AC=AM=PM=2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分别为CM，AC的中点．
（Ⅰ）在PC上确定一点E，使得直线PM∥平面ABE，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AE，与PD相交于点N，求三棱锥B-ADN的体积．

难度：中等

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5．（2016•宁波校级模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为CC₁和A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，侧面ABB₁A₁为菱形且∠BAA₁=60°，AA₁=A₁D=2，BC=1，
（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

难度：较难

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6．如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF是正方形，AB∥CD，CD=2AB，G为DE的中点．
（1）求证：BG∥平面ADF；
（2）若CD=2，AB⊥BD，BD=BE，∠DBE=90°，求三棱锥A-BDF的体积．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，其他四个侧面都是边长等于
5
的等腰三角形，点E是PC中点．
（1）求证：PA∥平面EBD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若该四棱锥P-ABCD是一个铜制的几何体，将它熔铸成一个实心球体，假设熔铸过程没有材料损失，求这个球体的表面积．

难度：中等

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8．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；
（Ⅱ）当三棱锥F-ABE体积最大时，求钝二面角B-AC-D的余弦值．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）PD∥平面EAC．
（2）求平面ACE分四棱锥两部分E-ABC与PE-ACD的体积比．

难度：中等

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10．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD．
（1）证明：EF∥面BCD；
（2）证明：面ACD⊥面CEF；
（3）求三棱锥O₁-OBF的体积．

难度：中等

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