知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•连云港期中）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，DQ∥AP，AP=AD=2DQ=2，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值；
（3）若E为PB中点，点F在线段CQ上，当平面AEF⊥平面PAB时，求CF的长．

难度：较难

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3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别为PC、PD的中点．
（1）求证：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程
（3）在（2）成立的条件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

难度：中等

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4．如图，三棱锥P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

难度：中等

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5．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是线段PD的中点．点N在线段PD上，且
PN
=
3
4
PD
．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求直线BD与平面PCD所成角的正弦值的大小；
（3）求cos＜
AN
，
BD
＞．

难度：中等

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6．已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在平面ABC上的射影为△ABC的（　　）

A．重心

B．外心

C．内心

D．垂心

难度：较易

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7．已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图：
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
（3）若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

难度：中等

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8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

难度：较难

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9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）求AC与A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

难度：中等

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10．给出下列三个命题，其中真命题是（填序号）．
①若直线l垂直于平面α内两条直线，则l⊥α；
②若直线m与n是异面直线，直线n与l是异面直线，则直线m与l也是异面直线；
③若m是一条直线，α，β是两个平面，且α∥β，m⊂α，则m∥β．

难度：中等

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