知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•嘉兴一模）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AE-D的余弦值的大小．

难度：中等

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2．（2016•洛阳一模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°（如图2），点G是CD的中点
（1）若M为棱AD上一点，且
AD
=4
MD
，求证：DE⊥平面MFC；
（2）求二面角E-FG-B的余弦值．

难度：中等

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3．如图．在四棱锥S一ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD．底面ABcD是菱形．AC与BD交于O点．
（1）求证：AC⊥平面SBD；
（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹．并证明你的结论．

难度：中等

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4．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面A₁CO；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB₁的距离．

难度：中等

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5．（2016•青岛一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2，E、F、H分别为PA、CD、PF的中点．
（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；
（Ⅱ）求证：AH⊥面EDC．

难度：中等

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6．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

难度：中等

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7．已知四棱锥P一ABCD，如图所示，其中平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分．
（I）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求二面角A-PC-B的余弦值．

难度：中等

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8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：BD₁⊥平面AB₁C；
（2）求AB与平面AB₁C所成的角．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=
120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求证：直线DA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥B-PAC的体积．

难度：中等

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10．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABE，BE=3DE，DE=3，AB⊥AE．
（I）求证：AB⊥面ADE；
（Ⅱ）求二面角A-BC-E的平面角的正弦值．

难度：较难

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