知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥S=ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求四棱锥S-ABCD的高．

难度：中等

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2．（2017•武汉模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，∠BCC₁=
π
3
，AB=BB₁=2，BC=1，D为CC₁中点．
（1）求证：DB₁⊥平面ABD；
（2）求二面角A-B₁D-A₁的平面角的余弦值．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BCC₁B₁，∠BCC1=
π
3
，AB=BB1=2，BC=1，D为CC₁的中点．
（1）求证：DB₁⊥平面ABD；
（2）求点A₁到平面ADB₁的距离．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，DC=2，过D作DF⊥PB于F，过F作FE⊥PB交PC于E．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．

难度：中等

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5．（2017•抚州模拟）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆（x-1）²+y²=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求三棱锥M-DAF的体积V₁与多面体CD-AFEB的体积V₂之比的值．

难度：中等

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6．（2017•抚州模拟）已知三棱台ABC-A₁B₁C₁中，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB₁=CC₁=B₁C₁=2，BC=4，AC=6
（1）求证：BC₁⊥平面AA₁C₁C
（2）点D是B₁C₁的中点，求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=
5
，AB=AD=
2
．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

难度：中等

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8．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2
2
，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．
（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

难度：较易

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10．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=
2
，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD．

难度：较难

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