知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，现已给出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的左视图．
（1）请画出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的主视图和俯视图；
（2）请在线段BC上找一点M，使得点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，在图中画出α与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁相交所成的截面，说出BM的长度，并给出证明．

难度：中等

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2．设P是△ABC外一点，则使点P在此三角形所在平面内的射影是△ABC的外心的条件为．

难度：中等

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3．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2
2
．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

难度：中等

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4．如图（甲），等腰直角三角形的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（乙））
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，PD=
2
，求四棱锥P-DEBC的体积．

难度：中等

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5．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2，AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求该多面体的体积；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）在BD上是否存在一点M，使EM∥面DFC，若存在，求出BM的长，若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

难度：中等

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7．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是棱CD上的动点，G为C₁D&₁的中点，H为A₁G的中点．
（1）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；
（2）设二面角C₁-EF-C的大小为θ，试确定F点的位置，使得cosθ=
1
3
．

难度：中等

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8．在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是正方形且AB=CD，点G，F分别是AD和CD的中点．求：
（1）异面直线GF和AE所成角的大小；
（2）在平面ABC内，是否存在一点H，使得HG⊥平面ADE？若存在，请指出该点的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图，正方形SG₁G₂G₃中，E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中．
（1）求证：SG⊥平面EFG；
（2）请指出四面体S-EFG中有哪些平面互相垂直；
（3）若M，N分别是SF，GE的中点，求异面直线MN与SE所成角的余弦值．

难度：中等

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10．如图，已知棱长为1的正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁上的两个不同动点，若PQ=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为．

难度：较易

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