知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湖南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•泰安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

难度：中等

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3．如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=
1
2
CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（I）求证：AB⊥PN．
（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．

难度：中等

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4．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A₁C，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF与平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•三明校级月考）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4
（1）求证AC⊥BC₁
（2）在AB上是否存在点D使得AC₁⊥CD
（3）在AB上是否存在点D使得AC₁∥平面CDB₁？

难度：较难

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6．如图，圆柱OO₁的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO₁的截面，点P在
AB
上且
AP
=
1
3
APB
，Q为PD上任意一点．
（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若线段PD的长为2
3
，求圆柱OO₁的体积．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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8．如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥BE；
（2）求三棱锥D′-ABE的体积；
（3）求D′E与BC所成角的大小．

难度：中等

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9．在值三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在A₁B上．
（1）求证：BC⊥A₁B；
（2）若V_ABC-A1B1C1=3
3
，BC=2，∠BA₁C=
π
6
，求三棱锥A₁-ABC的体积及AD长．

难度：中等

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10．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，点E，F分别在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4，点H，G分别在AB，CD上，AH=DG=10．
（1）证明四边形EFGH为正方形；
（2）求平面EFGH把该长方体分成的两部分体积的比值．

难度：中等

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